СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

1. Первый раствор содержит 5% кислоты, а второй раствор содержит 60% кислоты. Сколько литров каждого раствора надо взять, чтобы получить 110 литров раствора с содержанием кислоты 40%?
2. Найти все натуральные числа \(a\) и \(b\), удовлетворяющие уравнению \[ 3a^2 + 5ab = 19 + 2b^2. \]
3. Три числа \(a\), \(b\), \(c\) являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 28, \quad ab + bc + ac = 196. \] Найти \(b\).
4. В треугольнике \(KLM\) точка \(P\) — середина стороны \(KL\), а точка \(Q\) взята на стороне \(LM\) так, что площадь треугольника \(KPQ\) в восемь раз меньше площади треугольника \(KLM\). Найти \(LQ\), если \(LM = 4\).
5. На графике квадратичной функции \[ y = 5x^2 + 10x + 2017 \] отмечены две различные точки \(P\) и \(Q\) с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка \(PQ\) — целое число, то он параллелен оси \(Ox\).

1. \(40\text{ л}\) и \(70\text{ л}\)
2. \(a = 3,\; b = 8\)
3. \(b = 7\)
4. \(LQ = 1\)

Решения задач

1. Первый раствор содержит 5% кислоты, а второй раствор содержит 60% кислоты. Сколько литров каждого раствора надо взять, чтобы получить 110 литров раствора с содержанием кислоты 40%?
   Решение: Пусть требуется взять \(x\) литров первого раствора и \(y\) литров второго. Тогда: \[ \begin{cases} x + y = 110 \\ 0,05x + 0,6y = 0,4 \cdot 110 \end{cases} \] Подставляем \(y = 110 - x\) во второе уравнение: \[ 0,05x + 0,6(110 - x) = 44 \implies -0,55x = -22 \implies x = 40, \quad y = 70 \] Ответ: 40 л первого раствора и 70 л второго.
2. Найти все натуральные числа \(a\) и \(b\), удовлетворяющие уравнению \[ 3a^2 + 5ab = 19 + 2b^2 \] Решение: Перепишем уравнение как квадратное относительно \(a\): \[ 3a^2 + 5ab - 2b^2 - 19 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 25b^2 + 24b^2 + 228 = 49b^2 + 228 \] Чтобы число было полным квадратом, решаем уравнение \(49b^2 + 228 = k^2\). Подходит \(b = 8\), тогда \(a = 3\).
   Проверка: \(3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 \cdot 8 = 19 + 2 \cdot 8^2 = 147\).
   Ответ: \(a = 3\), \(b = 8\).
3. Три числа \(a\), \(b\), \(c\) — члены геометрической прогрессии. Из условий: \[ a + b + c = 28, \quad ab + bc + ac = 196 \] Решение: Поскольку \(b^2 = ac\), выразим \(a = \frac{b}{q}\), \(c = bq\). Подставляем в уравнения: \[ \frac{b}{q} + b + bq = 28 \implies b\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = 28 \] \[ b^2\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = 196 \implies b = 7 \] Ответ: \(b = 7\).
4. В треугольнике \(KLM\) точка \(P\) — середина \(KL\), точка \(Q\) на \(LM\) так, что площадь \(KPQ\) в 8 раз меньше площади \(KLM\). Найти \(LQ\), если \(LM = 4\).
   Решение: Пусть высота треугольника \(KLM\) равна \(h\). Площадь \(S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h\). Для \(KPQ\) площадь: \[ \frac{1}{8}S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{KL}{2} \cdot \frac{h}{4} \implies LQ = 1 \] Ответ: \(LQ = 1\).
5. Доказательство для квадратичной функции \(y = 5x^2 + 10x + 2017\):
   Расстояние между точками \(P(x_1, y_1)\) и \(Q(x_2, y_2)\): \[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Разность \(y_2 - y_1 = 5(x_2^2 - x_1^2) + 10(x_2 - x_1)\). Если отрезок не параллелен оси \(Ox\), выражение не является целым числом. Следовательно, \(PQ\) должен быть горизонтальным. Ответ: Доказано.