СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

1. Первый сплав содержит 5% меди, а второй сплав содержит 40% меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 140 кг сплава, содержащего 30% меди?
2. Найти все натуральные числа \(a\) и \(b\), удовлетворяющие уравнению \[ 10a^2 + 3ab = 13 + b^2. \]
3. Три числа \(a\), \(b\), \(c\) являются в указанном порядке последовательными членами геометрической прогрессии, причём \[ a + b + c = 26 \quad\text{и}\quad ab + bc + ac = 156. \] Найдите \(b\).
4. В треугольнике \(ABC\) точке \(E\) — середина стороны \(AB\), а точка \(F\) взята на стороне \(BC\) так, что площадь треугольника \(AEF\) в шесть раз меньше площади треугольника \(ABC\). Найти \(BC\), если \(BF = 1\).
5. На графике квадратичной функции \(y = 3x^2 + 12x + 2017\) отмечены две различные точки \(A\) и \(B\) с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка \(AB\) — целое число, то он параллелен оси \(Ox\).

1. \(40\text{ кг}\) и \(100\text{ кг}\)
2. \(a = 2,\; b = 9\)
3. \(b = 6\)
4. \(BC = 3\)

Решения задач

1. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 40% меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 140 кг сплава с 30% меди?
   Решение: Пусть массу первого сплава обозначим \(x\) кг, тогда второго сплава будет \(140 - x\) кг. Составим уравнение по содержанию меди: \[ 0.05x + 0.4(140 - x) = 0.3 \cdot 140 \] \[ 0.05x + 56 - 0.4x = 42 \] \[ -0.35x = -14 \quad \Rightarrow \quad x = 40 \text{ кг} \] Тогда второго сплава: \(140 - 40 = 100\) кг.
   Ответ: 40 кг первого сплава и 100 кг второго.
   
   
2. Найти все натуральные числа \(a\) и \(b\), удовлетворяющие уравнению: \[ 10a^2 + 3ab = 13 + b^2 \] Решение: Преобразуем уравнение к виду: \[ 10a^2 - b^2 + 3ab = 13 \] Попробуем выразить \(b\) через \(a\). Перепишем уравнение как квадратное относительно \(b\): \[ b^2 - 3ab - 10a^2 + 13 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 9a^2 + 4(10a^2 - 13) = 49a^2 - 52 \] Чтобы \(D\) был полным квадратом, \(49a^2 - 52 = k^2\). Проверим натуральные \(a\): При \(a = 1\): \(49 - 52 = -3\) (нет) При \(a = 2\): \(196 - 52 = 144 = 12^2\) Тогда \(b = \frac{3 \cdot 2 \pm 12}{2} = [9, -3]\). Подходит \(b = 9\). Ответ: \(a = 2\), \(b = 9\).
   
   
3. Три числа \(a\), \(b\), \(c\) — последовательные члены геометрической прогрессии: \[ a + b + c = 26 \quad\text{и}\quad ab + bc + ac = 156 \] Решение: Для геометрической прогрессии \(b^2 = ac\). Пусть \(q\) — знаменатель прогрессии: \[ a = \frac{b}{q},\quad c = bq \] Подставим в уравнения: \[ \frac{b}{q} + b + bq = 26 \quad \Rightarrow \quad b\left(\frac{1}{q} + 1 + q\right) = 26 \] \[ \frac{b^2}{q} + b^2q + b^2 = 156 \quad \Rightarrow \quad b^2\left(q + \frac{1}{q} + 1\right) = 156 \] Разделим второе уравнение на первое: \[ b = \frac{156}{26} = 6 \] Ответ: \(b = 6\).
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(E\) — середина \(AB\), точка \(F\) на \(BC\) так, что \(S_{AEF} = \frac{1}{6}S_{ABC}\). Найти \(BC\), если \(BF = 1\).
   Решение: Пусть \(BC = x\), тогда \(FC = x - 1\). Обозначим высоту треугольника \(ABC\) как \(h\). Площадь \(ABC\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \] Треугольник \(AEF\): высота та же \(h\), основание \(EF = \frac{h}{2}\). Из условия: \[ \frac{1}{2} \cdot EF \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}BC \cdot h \] Решая пропорции, находим \(BC = 4\).
   Ответ: \(BC = 4\).
   
   
5. Доказать, что если отрезок \(AB\) на графике \(y = 3x^2 + 12x + 2017\) имеет целую длину при целых координатах, то он параллелен оси \(Ox\).
   Решение: Выделим полный квадрат: \[ y = 3(x + 2)^2 + 1981 \] Любые две точки с целыми координатами на параболе имеют вид \((m, 3(m+2)^2 + 1981)\) и \((n, 3(n+2)^2 + 1981)\). Разность ординат: \[ 3(m - n)(m + n + 4) \] Если отрезок не горизонтален, эта разность не равна нулю и будет кратна 3. Тогда расстояние между точками: \[ \sqrt{(m - n)^2 + [3(m - n)(m + n + 4)]^2} \] Так как \(\sqrt{A^2 + (3A)^2} = \sqrt{10A^2} = A\sqrt{10}\) — иррационально при целых \(A\), что противоречит условию. Значит, отрезок горизонтален.
   Доказано.