СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 6

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1200$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). Сколько чисел осталось?
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После того как в неё влили пробирку 100%-й кислоты, концентрация кислоты составила 86%. Если бы вместо кислоты в колбу влили пробирку дистиллированной воды того же объёма, то концентрация составила бы 36%. Какова была изначальная концентрация кислоты в колбе?
3. Диагонали трапеции равны по 12 и пересекаются под прямым углом. Найдите её среднюю линию.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 - 2a x + 3(1 - a) \] равна 4.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ 9x^2 + y^2 \le 9 - 6\lvert x y\rvert. \]

1. $600$
2. $72\%$
3. $6\sqrt{2}$
4. $a = 1$
5. $6$

Решения задач

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1200$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 4. Сколько чисел осталось?
   Решение: Используем метод включений-исключений.
   Количество чисел, кратных 3: $\left\lfloor \frac{1200}{3} \right\rfloor = 400$.
   Кратных 4: $\left\lfloor \frac{1200}{4} \right\rfloor = 300$.
   Кратных и 3, и 4 (т.е. НОК(3,4)=12): $\left\lfloor \frac{1200}{12} \right\rfloor = 100$.
   Общее количество вычеркнутых чисел: $400 + 300 - 100 = 600$.
   Осталось: $1200 - 600 = 600$.
   Ответ: 600.
2. В колбе находился раствор кислоты. После добавления пробирки 100\%-й кислоты концентрация стала 86\%. Если влить пробирку воды, концентрация составит 36\%. Найти исходную концентрацию.
   Решение: Пусть начальный объём раствора $C$, объём пробирки $P$, количество кислоты $V$.
   После добавления кислоты: $\frac{V + P}{C + P} = 0,86$.
   После добавления воды: $\frac{V}{C + P} = 0,36$.
   Обозначим $K = C + P$. Тогда $V = 0,36K$, подставим в первое уравнение:
   $\frac{0,36K + P}{K} = 0,86 \Rightarrow 0,36K + P = 0,86K \Rightarrow P = 0,5K$.
   Начальная концентрация: $\frac{V}{C} = \frac{0,36K}{K - P} = \frac{0,36K}{K - 0,5K} = 0,72 = 72\%$.
   Ответ: 72\%.
   
   
3. Диагонали трапеции равны по 12 и пересекаются под прямым углом. Найдите её среднюю линию.
   Решение: Площадь трапеции равна $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$.
   Средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$, где $a$, $b$ — основания.
   Пусть высота трапеции $h$. Тогда $72 = \frac{a + b}{2} \cdot h \Rightarrow m \cdot h = 72$.
   Из прямоугольных треугольников, образованных диагоналями и основаниями, находим:
   $(a + b)^2 = 288 \Rightarrow m = \frac{\sqrt{288}}{2} = 6\sqrt{2}$.
   Ответ: $6\sqrt{2}$.
   
   
4. Найдите все значения $a$, при которых сумма квадратов корней трёхчлена $x^2 - 2a x + 3(1 - a)$ равна 4.
   Решение: Сумма квадратов корней: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2a)^2 - 2 \cdot 3(1 - a)$.
   Уравнение: $4a^2 - 6(1 - a) = 4 \Rightarrow 4a^2 + 6a - 10 = 0$.
   Дискриминант: $D = 36 + 160 = 196 \Rightarrow a = \frac{-6 \pm 14}{8}$.
   Корни: $a = 1$ и $a = -\frac{5}{2}$.
   Проверка дискриминанта исходного уравнения при $a=-\frac{5}{2}$: $D = (2a)^2 - 12(1 - a) = (-5)^2 - 12 \cdot \frac{7}{2} = -17 < 0$ (нет корней).
   Ответ: 1.
5. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством $9x^2 + y^2 \le 9 - 6|x y|$.
   Решение: Преобразуем неравенство: $9x^2 + y^2 + 6|x y| \le 9$.
   Рассмотрим случаи:
   • При $xy \ge 0$: $(3x + y)^2 \le 9 \Rightarrow |3x + y| \le 3$.
   • При $xy < 0$: $(3x - y)^2 \le 9 \Rightarrow |3x - y| \le 3$.
   
   Фигура — объединение четырёх треугольников со стороной 3. Площадь каждого треугольника $\frac{9}{2}$, общая площадь $4 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = 6$.
   Ответ: 6.