СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 5

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1600$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 5 (числа, кратные и 3, и 5, вычеркнули). Сколько чисел осталось?
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После того как в неё влили пробирку $100\%$-й кислоты, концентрация кислоты составила $84\%$. Если бы вместо кислоты в колбу влили пробирку дистиллированной воды того же объёма, то концентрация составила бы $34\%$. Какова была изначальная концентрация кислоты в колбе?
3. Диагонали трапеции равны по 10 и пересекаются под прямым углом. Найдите её среднюю линию.
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма квадратов корней квадратного трёхчлена \[ x^2 + 2ax - 3(a + 1) \] равна 4.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ 4x^2 + y^2 \le 4 - 4\lvert x y\rvert. \]

1. $853$
2. $68\%$
3. $5\sqrt{2}$
4. $a = -1$ и $a = -\tfrac12$
5. $4$

Решения задач

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1600$ вычеркнули все числа, кратные 3 или 5. Сколько чисел осталось?
   Решение: Используем принцип включения-исключения.
   Всего чисел: $N = 1600$.
   Кратных 3: $\left\lfloor\frac{1600}{3}\right\rfloor = 533$.
   Кратных 5: $\left\lfloor\frac{1600}{5}\right\rfloor = 320$.
   Кратных и 3, и 5 (т.е. 15): $\left\lfloor\frac{1600}{15}\right\rfloor = 106$.
   Вычитаем кратные 3 и 5, добавляя кратные 15:
   $1600 - (533 + 320 - 106) = 1600 - 747 = 853$.
   Ответ: 853.
   
   
2. В колбе был раствор кислоты. После добавления пробирки кислоты концентрация стала $84\%$, после добавления воды — $34\%$. Найти исходную концентрацию.
   Решение:
   Пусть изначальный объем раствора — $V$, объем пробирки — $v$, концентрация кислоты — $c$.
   После добавления кислоты масса кислоты: $cV + v = 0,84(V + v)$.
   После добавления воды масса кислоты: $cV = 0,34(V + v)$.
   Решая систему: $$ \begin{cases} cV + v = 0,84(V + v) \\ cV = 0,34(V + v) \end{cases} $$ \\ Выразим $V + v$ из второго уравнения: $V + v = \frac{cV}{0,34}$. \\ Подставим в первое уравнение: $$ cV + v = 0,84 \cdot \frac{cV}{0,34} \implies cV + v = \frac{42cV}{17} \implies v = \frac{42cV}{17} - cV = \frac{25cV}{17} $$ \\ Используя $V + v = \frac{cV}{0,34}$, подставим выражение для $v$: $$ V + \frac{25cV}{17} = \frac{cV}{0,34} \implies 17 + 25c = 50c \implies 17 = 25c \implies c = 0,68 $$ \\ Ответ: 68%.
   
   
3. Диагонали трапеции равны 10 и пересекаются под прямым углом. Найти среднюю линию. \\ Решение: Средняя линия трапеции равна $\frac{a + b}{2}$, где $a$ и $b$ — основания. \\ При перпендикулярных диагоналях площадь трапеции $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$. \\ Также справедливо $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота. \\ Из подобия треугольников получаем связь между $h$ и средней линией: \\ Для перпендикулярных диагоналей: $a^2 + b^2 = d_1^2 + d_2^2$. \\ Здесь $a^2 + b^2 = 200$, также $S = 50 = \frac{a + b}{2} \cdot h$. \\ Выразим $m = \frac{a + b}{2}$. \\ Используя соотношения $h = \frac{2d_1 d_2}{a + b}$ для трапеции с перпендикулярными диагоналями: \\ $S = \frac{a + b}{2} \cdot \frac{20}{a + b} \cdot m = 10m = 50 \implies m = 5$. \\ Ответ: 5.
   
   
4. Найти все значения $a$, при которых сумма квадратов корней трёхчлена $x^2 + 2ax - 3(a + 1)$ равна 4. \\ Решение: Пусть корни $x_1$, $x_2$. По теореме Виета: $$ x_1 + x_2 = -2a, \quad x_1x_2 = -3(a + 1) $$ \\ Сумма квадратов: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (4a^2) - 2(-3(a + 1)) = 4a^2 + 6a + 6$. \\ Уравнение: $$ 4a^2 + 6a + 6 = 4 \implies 4a^2 + 6a + 2 = 0 \implies (2a + 1)(2a + 2) = 0 $$ \\ Корни: $a = -1$, $a = -0,5$. \\ Проверка дискриминанта исходного уравнения: $D = 4a^2 + 12(a + 1) = 4a^2 + 12a + 12 \ge 0$ при всех действительных $a$. \\ Ответ: $-1; -0,5$.
   
   
5. Найти площадь фигуры, заданной неравенством $4x^2 + y^2 \le 4 - 4|x y|$. \\ Решение: Перепишем неравенство: $$ 4x^2 + y^2 + 4|x y| \le 4 $$ \\ Полные квадраты для случаев:
   • $xy \ge 0$: $(2x + y)^2 \le 4$ — эллипс $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} + \frac{xy}{1} \le 1$
   • $xy \le 0$: $(2x - y)^2 \le 4$ — аналогичный эллипс
   \\ Фигура симметрична относительно осей. Преобразуем неравенства:
   • $(2x + |y|)^2 \le 4$
   \\ Максимальные координаты: $x \pm1$, $y \pm2$. \\ Площадь каждого эллипса в квадранте равна $\frac{\pi}{2}$ (при $\sqrt{\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4}} \le1$), но с учетом закрученных квадратов суммарная площадь исходной фигуры равна площади круга радиусом 2, разделенного пополам. \\ Ответ: $2\pi$.