СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 4

1. Из списка натуральных чисел \(1,2,\dots,1400\) вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. Сколько чисел осталось?
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После того как в неё влили пробирку дистиллированной воды, концентрация кислоты составила 27\%. Если бы вместо воды в колбу влили пробирку 100\%-й кислоты того же объёма, то концентрация составила бы 67\%. Какова была изначальная концентрация кислоты в колбе?
3. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны по 16, а сумма углов при одном из оснований равна \(90^\circ\). Какова её высота?
4. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (a - x)(x + 4) \] положительно.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости \(Oxy\) неравенством \[ \sqrt{4 + x^2 - 4x}\;\le\;4 - \lvert 1 - y\rvert. \]

1. $653$
2. $45\%$
3. $8\sqrt{2}$
4. $(-\infty,-4)\cup(-4,+\infty)$
5. $32$

Решения задач

1. Из списка натуральных чисел \(1, 2, \dots, 1400\) вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 3, ни на 5. Сколько чисел осталось? Решение: Находим количество чисел, делящихся на 3 или на 5, используя формулу включений-исключений: \[ \left\lfloor \frac{1400}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1400}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1400}{15} \right\rfloor = 466 + 280 - 93 = 653 \] Ответ: 653.
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После добавления воды концентрация стала 27\%, вместо этого добавленная пробирка кислоты дала бы 67\%. Какова была изначальная концентрация? Решение: Пусть изначальный объём раствора \(V\), объём пробирки \(v\), концентрация \(x\). После добавления воды: \[ \frac{xV}{V + v} = 0,27 \implies x = \frac{0,27(V + v)}{V} = 0,27\left(1 + \frac{v}{V}\right) \] После добавления кислоты: \[ \frac{xV + v}{V + v} = 0,67 \implies xV + v = 0,67(V + v) \] Подставляя \(x\) и обозначая \(k = \frac{V}{V + v}\), получаем: \[ 0,27/k + (1 - k) = 0,67 \implies k = 0,6; \quad x = \frac{0,27}{0,6} = 0,45 \] Ответ: 45\%.
3. В равнобедренной трапеции с боковыми сторонами 16 сумма углов при одном основании равна \(90^\circ\). Какова высота трапеции? Решение: Сумма углов при основании \(90^\circ\) означает, что каждый угол равен \(45^\circ\). Высота \(h = 16 \cdot \sin 45^\circ\): \[ h = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \] Ответ: \(8\sqrt{2}\).
4. Найдите все значения \(a\), при которых наибольшее значение выражения \((a - x)(x + 4)\) положительно. Решение: Функция \(f(x) = -x^2 + (a - 4)x + 4a\). Максимум: \[ \frac{(a + 4)^2}{4} > 0 \implies (a + 4)^2 > 0 \implies a \ne -4 \] Ответ: \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}\).
5. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством \(\sqrt{4 + x^2 - 4x} \le 4 - |1 - y|\). Решение: Упрощаем неравенство: \[ \sqrt{(x - 2)^2} \le 4 - |1 - y| \implies |x - 2| + |y - 1| \le 4 \] Это ромб с вершинами в точках \((2 \pm 4, 1)\), \((2, 1 \pm 4)\). Площадь: \[ S = 2 \times \text{диагональ}_1 \times \text{диагональ}_2 = 2 \times 8 \times 8 = 32 \] Ответ: 32.