СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 3

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1600$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. Сколько чисел осталось?
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После того как в неё влили пробирку дистиллированной воды, концентрация кислоты составила 28%. Если бы вместо воды в колбу влили пробирку 100\%-й кислоты того же объёма, то концентрация составила бы 88%. Какова была изначальная концентрация кислоты в колбе?
3. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] положительно.
4. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны по 12, а сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Какова её высота?
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ \sqrt{1 + x^2 - 2x} \;\le\; 3 - \lvert 2 - y\rvert. \]

1. 914
2. 70\%
3. $(-\infty,-6)\cup(-6,+\infty)$
4. $6\sqrt{2}$
5. 18

Решения задач

1. Из списка натуральных чисел $1,2,\dots,1600$ вычеркнули все числа, не делящиеся ни на 2, ни на 7. Сколько чисел осталось? Решение: Найдём количество чисел, делящихся на 2 или на 7 по формуле включений-исключений:
   • Число кратных 2: $N_2 = \left\lfloor \frac{1600}{2} \right\rfloor = 800$
   • Число кратных 7: $N_7 = \left\lfloor \frac{1600}{7} \right\rfloor = 228$
   • Число кратных 14: $N_{14} = \left\lfloor \frac{1600}{14} \right\rfloor = 114$
   Оставшихся чисел: \vspace{0.2cm}
   $N_2 + N_7 - N_{14} = 800 + 228 - 114 = 914$ Ответ: 914.
2. В колбе находился раствор кислоты в воде. После того как в неё влили пробирку дистиллированной воды, концентрация кислоты составила 28\%. Если бы вместо воды в колбу влили пробирку 100\%-й кислоты того же объёма, то концентрация составила бы 88\%. Какова была изначальная концентрация кислоты в колбе? Решение: Пусть объём колбы — $V$, объём пробирки — $v$, исходная концентрация — $x$. Составим уравнения: После добавления воды: \begin{equation} \frac{xV}{V + v} = 0.28 \quad \Rightarrow \quad xV = 0.28(V + v) \tag{1} \end{equation} После добавления кислоты: \begin{equation} \frac{xV + v}{V + v} = 0.88 \quad \Rightarrow \quad xV + v = 0.88(V + v) \tag{2} \end{equation} Вычитая уравнение (1) из (2):
   $v = 0.6(V + v) \quad \Rightarrow \quad v = 1.5V$ Подставляя $v$ в (1):
   $xV = 0.28(V + 1.5V) \quad \Rightarrow \quad x = 0.28 \cdot 2.5 = 0.7$ Ответ: 70\%.
3. Найдите все значения $a$, при каждом из которых наибольшее значение выражения \[ (x + a)(6 - x) \] положительно. Решение: Преобразуем выражение:
   $(x + a)(6 - x) = -x^2 + (6 - a)x + 6a$ Максимальное значение квадратного трёхчлена достигается в вершине:
   $x_{\text{верш}} = \frac{6 - a}{2}$ Подставим в выражение:
   $\left(\frac{6 - a}{2} + a\right)\left(6 - \frac{6 - a}{2}\right) = \frac{(6 + a)}{2} \cdot \frac{(6 + a)}{2} = \frac{(6 + a)^2}{4}$ Для положительности необходимо:
   $\frac{(6 + a)^2}{4} > 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq -6$ Ответ: Все действительные числа, кроме $a = -6$.
4. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны по 12, а сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Какова её высота? Решение: Сумма углов при основании равна $90^\circ$, значит каждый угол равен $45^\circ$. Проведём высоту трапеции $h$: Высота связана с боковой стороной как:
   $h = 12 \cdot \sin{45^\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ Ответ: $6\sqrt{2}$.
5. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости $Oxy$ неравенством \[ \sqrt{1 + x^2 - 2x} \;\le\; 3 - |2 - y| \] Решение: Преобразуем неравенство:
   $\sqrt{(x - 1)^2 + 1} \le 3 - |2 - y|$ Сделаем замену $u = x - 1$, $v = y - 2$:
   $\sqrt{u^2 + 1} \le 3 - |v|$ Возводя в квадрат:
   $u^2 + 1 \le (3 - |v|)^2 \quad \Rightarrow \quad u^2 \le (3 - |v|)^2 - 1$ Построим фигуру симметрично относительно $v = 0$:
   • При $v \ge 0$: $u^2 \le (3 - v)^2 - 1$ (действительно при $0 \le v \le 2$ и $4 \le v \le 5$)
   • При $v < 0$: $u^2 \le (3 - (-v))^2 - 1 = (3 + v)^2 - 1$ (действительно при $-2 \le v < 0$)
   Вычислим интегралы для площадей:
   $S = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{v^2 + 2v} \, dv + 2 \int_{-2}^{0} \sqrt{(3 + v)^2 - 1} \, dv$ После вычислений получаем:
   $S = 6\sqrt{2} - 2\ln(\sqrt{2} + 1)$ Ответ: $6\sqrt{2} - 2\ln(1 + \sqrt{2})$.