8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2016
Печать
youit.school ©
Химико-биологическое отделение. Москва – 5 июня 2016.
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс
Вариант 2


  1. К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено число 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
  2. Решить уравнение \[ \lvert x - 2\rvert + \lvert x\rvert = 2. \]
  3. Сколько существует различных возрастающих арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([3019;3024]\)?
  4. В равнобедренной трапеции с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём угол \(AOD\) равен \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = BD = 12\).
  5. На лабораторной работе Пете выдали колбу с раствором кислоты, а также две одинаковые пробирки: одну с концентрированной 100%–й кислотой, другую с дистиллированной водой. Если вылить первую пробирку в колбу и перемешать, то концентрация раствора в колбе увеличится в 1,5 раза. Если же вылить вторую пробирку в колбу, то концентрация раствора в колбе уменьшится в 1,5 раза. Как изменится концентрация, если вылить в колбу обе пробирки?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. К числителю дроби \(\tfrac{8}{15}\) прибавлено число 56. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 300% больше первоначальной?
    Решение: 300% увеличение означает увеличение в 4 раза (100% исходной + 300% увеличения). Изначальная дробь \(\frac{8}{15}\). Новая дробь: \(\frac{8}{15} \cdot 4 = \frac{32}{15}\).
    Уравнение: \(\frac{8 + 56}{15 + x} = \frac{32}{15}\).
    \(\frac{64}{15 + x} = \frac{32}{15}\).
    Крест-накрест: \(64 \cdot 15 = 32(15 + x)\).
    \(960 = 480 + 32x \Rightarrow 32x = 480 \Rightarrow x = 15\).
    Ответ: 15.
  2. Решить уравнение \(\lvert x - 2\rvert + \lvert x\rvert = 2\).
    Решение: Рассмотрим три случая:
    1. \(x < 0\):
      \(|x - 2| = 2 - x\), \(|x| = -x\).
      Уравнение: \(2 - x - x = 2 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0\) (не подходит, так как \(x < 0\)).
    2. \(0 \le x \le 2\):
      \(|x - 2| = 2 - x\), \(|x| = x\).
      Уравнение: \(2 - x + x = 2 \Rightarrow 2 = 2\).
      Все \(x\) на этом промежутке — решения.
    3. \(x > 2\):
      \(|x - 2| = x - 2\), \(|x| = x\).
      Уравнение: \(x - 2 + x = 2 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\) (не подходит, так как \(x > 2\)).
    Ответ: \(x \in [0; 2]\).
  3. Сколько существует различных возрастающих арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([3019;3024]\)?
    Решение: На отрезке 6 чисел: 3019, 3020, 3021, 3022, 3023, 3024.
    Возможные разности прогрессий:
    • \(d = 1\):
      (3019, 3020, 3021), (3020, 3021, 3022), (3021, 3022, 3023), (3022, 3023, 3024) \quad — \quad 4 прогрессии.
    • \(d = 2\):
      (3019, 3021, 3023), (3020, 3022, 3024) \quad — \quad 2 прогрессии.
    Ответ: 6.
  4. В равнобедренной трапеции с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём угол \(AOD\) равен \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = BD = 12\).
    Решение: Средняя линия равна \(\frac{AD + BC}{2}\).
    В равнобедренной трапеции диагонали равны, а их пересечение делит их в отношении оснований. Из свойства диагоналей и угла \(60^\circ\) следует, что сумма оснований \(AD + BC = 2 \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 2 \cdot 12 \cdot 0,5 = 12\).
    Средняя линия: \(\frac{AD + BC}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
    Ответ: 6.
  5. На лабораторной работе Пете выдали колбу с раствором кислоты, а также две одинаковые пробирки: одну с 100\%–й кислотой, другую с дистиллированной водой. Если вылить первую пробирку в колбу и перемешать, то концентрация раствора в колбе увеличится в 1,5 раза. Если же вылить вторую пробирку в колбу, то концентрация раствора в колбе уменьшится в 1,5 раза. Как изменится концентрация, если вылить в колбу обе пробирки?
    Решение:
    • Пусть \(V\) — объём раствора в колбе, \(c\) — начальная концентрация, \(v\) — объём пробирки.
    • Добавление кислоты:
      \(\frac{cV + v}{V + v} = 1,5c \Rightarrow v = 0,5V\).
    • Добавление воды:
      \(\frac{cV}{V + v} = \frac{c}{1,5} \Rightarrow v = 0,5V\).
    • Добавление обоих пробирок:
      Новая масса кислоты: \(cV + 0,5V = (c + 0,5)V\).
      Общий объём: \(V + 2 \cdot 0,5V = 2V\).
      Новая концентрация: \(\frac{(c + 0,5)V}{2V} = \frac{c + 0,5}{2}\).
      Подставляя \(c = 0,4\) (из условий задачи), получаем: \(\frac{0,9}{2} = 0,45\).
      Отношение: \(\frac{0,45}{0,4} = 1,125 = \frac{9}{8}\).
    Ответ: увеличится в \(\frac{9}{8}\) раза.
Материалы школы Юайти