СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

1. К числителю дроби \(\tfrac{7}{12}\) прибавлено число 21. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 200% больше первоначальной?
2. Решить уравнение \[ \lvert x - 1\rvert + \lvert x + 2\rvert = 3. \]
3. Сколько существует различных убывающих арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([2016;2021]\)?
4. В равнобедренной трапеции с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(K\), причём угол \(DKC\) равен \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = BD = 36\).
5. На лабораторной работе Пете выдали колбу с раствором кислоты, а также две одинаковые пробирки: одну с дистиллированной водой, другую с 40%-м раствором кислоты. Если вылить первую пробирку в колбу и перемешать, то концентрация раствора в колбе уменьшится в 1,5 раза. Если же вылить вторую пробирку в колбу, то концентрация раствора в колбе увеличится в 1,5 раза. Как изменится концентрация, если вылить в колбу обе пробирки?

Решения задач

1. К числителю дроби \(\tfrac{7}{12}\) прибавлено число 21. Какое натуральное число нужно прибавить к знаменателю, чтобы полученная дробь была на 200% больше первоначальной? Решение: Изначальная дробь — \(\frac{7}{12}\). Увеличение на 200% означает, что новая дробь должна быть в 3 раза больше исходной: \[ \frac{7 + 21}{12 + x} = 3 \cdot \frac{7}{12} \] \[ \frac{28}{12 + x} = \frac{7}{4} \implies 28 \cdot 4 = 7(12 + x) \implies 112 = 84 + 7x \implies x = 4. \] Ответ: 4.
2. Решить уравнение: \[ \lvert x - 1\rvert + \lvert x + 2\rvert = 3 \] Решение: Раскроем модули, рассматривая промежутки:
   • При \(x < -2\): \[ -(x - 1) - (x + 2) = 3 \implies -2x -1 = 3 \implies x = -2 \quad (\text{не входит в промежуток}) \]
   • При \(-2 \le x \le 1\): \[ -(x - 1) + (x + 2) = 3 \implies 3 = 3 \implies x \in [-2; 1] \]
   • При \(x > 1\): \[ (x - 1) + (x + 2) = 3 \implies 2x +1 = 3 \implies x = 1 \quad (\text{уже учтено}) \]
   Ответ: \(x \in [-2; 1]\).
3. Сколько существует различных убывающих арифметических прогрессий, состоящих из трёх членов, все члены которых являются целыми числами и принадлежат отрезку \([2016;2021]\)? Решение: Убывающие арифметические прогрессии с целой отрицательной разностью \(d\):
   • Для \(d = -1\): \[ (2021, 2020, 2019); (2020, 2019, 2018); (2019, 2018, 2017); (2018, 2017, 2016) \quad (4 \text{ прогрессии}) \]
   • Для \(d = -2\): \[ (2021, 2019, 2017); (2020, 2018, 2016) \quad (2 \text{ прогрессии}) \]
   Ответ: 6.
4. В равнобедренной трапеции с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(K\), причём угол \(DKC\) равен \(60^\circ\). Найти длину средней линии этой трапеции, если \(AC = BD = 36\). Решение: Пусть \(AB = a\), \(CD = b\). Точка \(K\) делит диагонали пропорционально основаниям: \[ \frac{AK}{KC} = \frac{a}{b}, \quad AK + KC = 36 \] В треугольнике \(DKC\) углы и соотношения дают: \[ \triangle DKC \text{ равносторонний} \implies KC = KD = CD = b \implies b \cdot \frac{a + b}{36} = 1 \implies a + b = 36. \] Средняя линия: \[ \frac{a + b}{2} = \frac{36}{2} = 18. \] Ответ: 18.
5. На лабораторной работе Пете выдали колбу с раствором кислоты, а также две одинаковые пробирки: одну с дистиллированной водой, другую с $40\%$-м раствором кислоты. Если вылить первую пробирку в колбу и перемешать, то концентрация раствора в колбе уменьшится в 1,5 раза. Если же вылить вторую пробирку в колбу, то концентрация раствора в колбе увеличится в 1,5 раза. Как изменится концентрация, если вылить в колбу обе пробирки? Решение: Пусть \(V\) — объем колбы, \(v\) — объем пробирки. \[ \text{После воды:} \quad \frac{cV}{V + v} = \frac{c}{1,5} \implies v = 0,5V. \] \[ \text{После 40% раствора:} \quad \frac{cV + 0,4v}{V + v} = 1,5c \implies c = 0,16. \] При добавлении обеих пробирок: \[ \text{Новая концентрация:} \quad \frac{0,16V + 0,4 \cdot 0,5V}{2V} = \frac{0,36V}{2V} = 0,18 \implies 1,125 \text{раз}. \] Ответ: увеличится в 1,125 раза.