СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

1. Решить неравенство \[ \frac{x}{3x + 5} < \frac{3}{5}. \]
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(4x^2 + 20x - 9 < 0\)?
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 36 и записывается (в десятичной системе исчисления) только нулями и семёрками.
4. У химика было три сосуда с водными растворами кислоты: 6 литров 80% раствора, 3 литра 40% раствора и 1 литр 20% раствора. Он перелил половину раствора первого сосуда во второй, затем половину второго в третий, затем половину третьего перелил в канистру, содержащую 8 литров дистиллированной воды. Найдите концентрацию получившегося раствора в канистре.
5. Вне прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AC=3\) и \(BC=4\) внутри прямого угла на его биссектрисе взята точка \(P\), равноудалённая от прямых \(AB\) и \(AC\). Найдите площадь треугольника \(BCP\).

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{x}{3x + 5} < \frac{3}{5}. \] Решение: Приведём неравенство к общему виду: \[ \frac{x}{3x + 5} - \frac{3}{5} < 0 \Rightarrow \frac{5x - 3(3x + 5)}{5(3x + 5)} < 0 \Rightarrow \frac{-4x -15}{5(3x +5)} 0. \] Критические точки, обращающие числитель и знаменатель в ноль: \(x = -\frac{15}{4} = -3.75\), \(x = -\frac{5}{3} \approx -1.67\). Метод интервалов: \[ x \in (-\infty; -3.75) \cup \left(-\frac{5}{3}; +\infty\right). \] Ответ: \( x \in (-\infty; -3.75) \cup \left(-\frac{5}{3}; +\infty\right) \).
   
   
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(4x^2 + 20x - 9 < 0\)? Решение: Решим квадратное уравнение \(4x^2 +20x -9 =0\): \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 144}}{8} = \frac{-20 \pm 4\sqrt{34}}{8} = \frac{-5 \pm \sqrt{34}}{2}. \] Приближённые корни: \(x_1 \approx -5.415\), \(x_2 \approx 0.415\). Решение неравенства — интервал между корнями. Целые числа внутри интервала: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0\). Всего 6 решений. Ответ: 6.
   
   
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 36 и записывается только нулями и семёрками. Решение: Для делимости на 36 (\(4 \times 9\)) необходимо, чтобы число заканчивалось на 00 (делимость на 4) и сумма цифр делилась на 9. Сумма семёрок должна быть кратна 9. Наименьшее количество семёрок — 9. Искомое число: 77777777700. Проверка: - Сумма цифр: \(9 \times 7 = 63\) (делится на 9). - Последние две цифры: 00 (делится на 4). Ответ: 77777777700.
   
   
4. У химика было три сосуда с водными растворами кислоты: 6 литров 80% раствора, 3 литра 40% раствора и 1 литр 20% раствора. Найдите концентрацию раствора в канистре после переливаний. Решение:
   1. Переливание половины первого сосуда (3 л 80% кислоты) во второй:
      • Объём второго сосуда: \(3 + 3 = 6\) л.
      • Кислота: \(3 \times 0.4 + 3 \times 0.8 = 1.2 + 2.4 = 3.6\) л \(\Rightarrow\) концентрация \(3.6 / 6 = 60\%\).
   2. Переливание половины второго (3 л 60%) в третий:
      • Объём третьего сосуда: \(1 + 3 = 4\) л.
      • Кислота: \(1 \times 0.2 + 3 \times 0.6 = 0.2 + 1.8 = 2\) л \(\Rightarrow\) концентрация \(2 / 4 = 50\%\).
   3. Переливание половины третьего (2 л 50%) в канистру с 8 л воды:
      • Объём канистры: \(8 + 2 = 10\) л.
      • Кислота: \(2 \times 0.5 = 1\) л \(\Rightarrow\) концентрация \(1 / 10 = 10\%\).
   Ответ: 10%.
   
   
5. Вне прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AC=3\) и \(BC=4\) внутри прямого угла на его биссектрисе взята точка \(P\), равноудалённая от прямых \(AB\) и \(AC\). Найдите площадь треугольника \(BCP\). Решение: Поместим точку \(C\) в начало координат \((0,0)\), \(A(3,0)\), \(B(0,4)\). Уравнение биссектрисы угла \(C\) — прямая \(y = x\). Уравнение прямой \(AB\): \(y = -\frac{4}{3}x + 4\). Условие равноудалённости точки \(P(x, x)\) от \(AB\) и \(AC\): \[ \frac{|-4x -3x + 12|}{5} = x. \] Решение: \(x = 6\). Точка \(P(6,6)\). Площадь треугольника \(BCP\) с вершинами \(B(0,4)\), \(C(0,0)\), \(P(6,6)\): \[ S = \frac{1}{2} \left| 0(4-6) + 0(6-0) + 6(0-4) \right| = \frac{1}{2} \times 24 = 12. \] Ответ: 12.