СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Решите неравенство \[ \frac{2x}{3x + 4} > \frac{3}{4}. \]
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(3x^2 + 20x - 12 < 0\)?
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 45 и записывается (в десятичной системе исчисления) только нулями и четвёрками.
4. У химика было три сосуда с водными растворами кислоты: 8 литров 80% раствора, 4 литра 40% раствора и 2 литра 30% раствора. Он перелил половину раствора первого сосуда во второй, затем половину второго в третий, затем половину третьего перелил в канистру, содержащую 7 литров дистиллированной воды. Найдите концентрацию получившегося раствора в канистре.
5. Вне прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AC=3\) и \(BC=4\) внутри прямого угла на его биссектрисе взята точка \(P\), равноудаленная от прямых \(AB\) и \(BC\). Найдите площадь треугольника \(ACP\).

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{2x}{3x + 4} > \frac{3}{4}. \]
   Решение: Переносим все члены в левую часть: \[ \frac{2x}{3x + 4} - \frac{3}{4} > 0 \] Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{8x - 9x - 12}{4(3x + 4)} > 0 \Rightarrow \frac{-x - 12}{4(3x + 4)} > 0 \] Определяем знак дроби. Знаменатель равен нулю при \( x = -\frac{4}{3} \), числитель — при \( x = -12 \). Разбиваем числовую ось на интервалы: \[ (-\infty; -12), (-12; -\frac{4}{3}), (-\frac{4}{3}; +\infty) \] Проверяя знаки, получаем решение: \[ x \in (-\infty; -12) \cup (-12; -\frac{4}{3}) \]
   Ответ: \( x \in (-\infty; -12) \cup (-12; -\frac{4}{3}) \).
   
   
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство \(3x^2 + 20x - 12 < 0\)?
   Решение: Решаем квадратное уравнение \(3x^2 + 20x - 12 = 0\): \[ D = 400 + 144 = 544 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{-20 \pm 4\sqrt{34}}{6} \] Приближенные корни: \( x_1 \approx -7{,}22 \), \( x_2 \approx 0{,}55 \). Целочисленные решения между корнями: \[ x = -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 \] Всего 8 целых чисел.
   Ответ: 8.
   
   
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 45 и записывается только нулями и четвёрками.
   Решение: Число должно делиться на 5 и 9. Значит, оканчивается на 0, а сумма цифр кратна 9. Минимальное количество четвёрок для суммы 36 (9 четвёрок). Наименьшее число: \[ 4444444440 \]
   Ответ: 4444444440.
   
   
4. Найдите концентрацию получившегося раствора в канистре после переливаний.
   Решение:
   1. Перелили 4 л 80% раствора в сосуд 2 (4 л 40%).
      Количество кислоты: \( 4 \cdot 0{,}8 + 4 \cdot 0{,}4 = 4{,}8 \) л. Новая концентрация в сосуде 2: \(\frac{4{,}8}{8} = 60% \).
   2. Перелили 4 л 60% раствора в сосуд 3 (2 л 30%).
      Количество кислоты: \( 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}6 = 3 \) л. Новая концентрация в сосуде 3: \(\frac{3}{6} = 50% \).
   3. Перелили 3 л 50% раствора в канистру с 7 л воды.
      Количество кислоты: \( 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5 \) л. Общий объем: \( 7 + 3 = 10 \) л. Концентрация: \(\frac{1{,}5}{10} = 15% \).
   
   Ответ: 15%.
   
   
5. Найдите площадь треугольника \(ACP\).
   Решение: Координаты точек: \(A(0;3)\), \(C(0;0)\), \(P\) лежит на биссектрисе \(y = x\) и равноудалена от \(AB\) и \(BC\). Координаты \(P(t;t)\). Расстояние от \(P\) до \(BC\) равно \(t\), до \(AB\): \[ \frac{|7t - 20|}{5} = t \quad \Rightarrow \quad t = 1 \] Площадь треугольника \(ACP\): \[ S = \frac{1}{2} |(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1)| = \frac{3}{2} = 1{,}5 \]
   Ответ: 1,5.