СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 2
Печать
youit.school ©
СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение. 31 марта 2018 г.
Письменная работа для поступающих в 10 класс (на 120 мин)
Математика. Вариант 10-ХБ-2
Математика. Вариант 10-ХБ-2
- Решите неравенство:
\[
\frac{300}{2018 - x} < -1.
\]
- Пять литров 3%-го раствора соли смешали с двумя литрами 5%-го раствора той же соли. Полученную смесь нагрели и выпарили два литра воды. Сколько процентов соли будет в полученном после выпаривания растворе?
- На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 90, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
- Найти количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых не содержится цифра 1, но содержится цифра 0.
- В прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Вариант 10-ХБ-2
- \((2018; 2318)\)
- 5%
- -6, -3, 0, 3, 6
- 1736
- 15
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите неравенство:
\[
\frac{300}{2018 - x} < -1.
\]
Решение:
Приведём неравенство к стандартному виду:
$\frac{300}{2018 - x} < -1$.
Умножим обе части неравенства на отрицательное число $(2018 - x)$, меняя знак неравенства:
$300 > -(2018 - x)$
$300 > x - 2018$
$x < 300 + 2018 = 2318$.
Также учтём, что знаменатель не равен нулю: $2018 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2018$.
Поскольку знаменатель должен быть отрицательным:
$2018 - x 2018$.
Решение неравенства: $x \in (2018; 2318)$.
Ответ: $(2018; 2318)$.
- Пять литров 3%-го раствора соли смешали с двумя литрами 5%-го раствора той же соли. Полученную смесь нагрели и выпарили два литра воды. Сколько процентов соли будет в полученном после выпаривания растворе?
Решение:
Масса соли в первом растворе:
$5 \cdot 0,03 = 0,15$ кг.
Масса соли во втором растворе:
$2 \cdot 0,05 = 0,1$ кг.
Общая масса соли: $0,15 + 0,1 = 0,25$ кг.
Объём исходной смеси: $5 + 2 = 7$ л.
После выпаривания объём стал: $7 - 2 = 5$ л.
Концентрация соли в новом растворе:
$\frac{0,25}{5} = 0,05 = 5\%$.
Ответ: 5\%.
- На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 90, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
Решение:
Пусть числа образуют арифметическую прогрессию: $a-2d$, $a-d$, $a$, $a+d$, $a+2d$.
Сумма их кубов:
$(a-2d)^3 + (a-d)^3 + a^3 + (a+d)^3 + (a+2d)^3 = 5a^3 + 30ad^2 = 0$
Отсюда $a(5a^2 + 30d^2) = 0$.
Возможные варианты:- $a = 0$ (если $5a^2 + 30d^2 \neq 0$).
- $a = d = 0$ (не подходит, так как сумма квадратов нулевая).
Сумма квадратов:
$(−2d)^2 + (−d)^2 + 0^2 + d^2 + (2d)^2 = 10d^2 = 90 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3$.
Получаем числа: $-6$, $-3$, $0$, $3$, $6$.
Проверка суммы кубов подтверждает решение: $(-6)^3 + (-3)^3 + 0 + 3^3 + 6^3 = 0$.
Ответ: $-6$, $-3$, $0$, $3$, $6$.
- Найти количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых не содержится цифра 1, но содержится цифра 0.
Решение:
Всего четырёхзначных чисел без цифры 1:- Первая цифра: 8 вариантов (2-9)
- Остальные цифры: 9 вариантов (0-9 без 1)
Числа без цифр 1 и 0:- Первая цифра: 8 вариантов (2-9)
- Остальные цифры: 8 вариантов (2-9 без 1)
Вычитаем из общего числа чисел без 1 те числа, где нет и 0:
$5832 - 4096 = 1736$.
Ответ: 1736.
- В прямоугольный треугольник с катетами 15 и 8 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников.
Решение:
Рассмотрим параметризацию исходного треугольника: координаты точек гипотенузы удовлетворяют уравнению $\frac{x}{15} + \frac{y}{8} = 1$.
Катеты вписанного треугольника: $x$ и $y$.
Площадь вписанного треугольника: $S = \frac{1}{2}xy$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = 8\left(1 - \frac{x}{15}\right)$.
Подставим в формулу площади:
$S = \frac{1}{2}x \cdot 8\left(1 - \frac{x}{15}\right) = 4x - \frac{4x^2}{15}$.
Максимум квадратичной функции достигается при $x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot \left(\frac{4}{15}\right)} = \frac{15}{2}$.
Подставляя $x = 7,5$ в выражение для $y$:
$y = 8\left(1 - \frac{7,5}{15}\right) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Максимальная площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 7,5 \cdot 4 = 15$.
Ответ: 15.
Материалы школы Юайти