СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

1. Решите неравенство: \[ \frac{200}{2018 - x} < -1. \]
   
   
2. Один литр 6%-го раствора соли смешали с двумя литрами 12%-го раствора той же соли. Полученную смесь нагрели и выпарили полтора литра воды. Сколько процентов соли будет в полученном после выпаривания растворе?
   
   
   
3. На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 40, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа.
   
   
   
4. Найти количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых содержится цифра 0, но не содержится цифра 9.
   
   
   
5. В прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников.
   

1. \((2018; 2218)\)
2. 20\%
3. 4, 2, 0, -2, -4
4. 1736
5. \( \frac{15}{2} \)

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{200}{2018 - x} < -1. \] Решение: Умножаем обе части на знаменатель, учитывая смену знака при делении на отрицательное число: $\frac{200}{2018 - x} < -1$
   $2018 - x < 0$, т.к. знаменатель должен быть отрицательным для выполнения неравенства умножением на отрицательное число.
   Тогда неравенство преобразуется:
   $200 > -(2018 - x)$
   $200 > -2018 + x$
   $x > 200 + 2018 = 2218$
   С учетом условия $2018 - x 2018$.
   Итоговое решение: $x > 2218$. Ответ: $(2218; +\infty)$.
2. Один литр 6%-го раствора соли смешали с двумя литрами 12%-го раствора той же соли. Полученную смесь нагрели и выпарили полтора литра воды. Сколько процентов соли будет в полученном после выпаривания растворе? Решение:
   Масса соли в первом растворе: $1 \cdot 0,06 = 0,06$ кг
   Масса соли во втором растворе: $2 \cdot 0,12 = 0,24$ кг
   Общая масса соли: $0,06 + 0,24 = 0,30$ кг
   Изначальный объем раствора: $1 + 2 = 3$ л
   Объем после выпаривания: $3 - 1,5 = 1,5$ л
   Концентрация соли: $\frac{0,30}{1,5} = 0,2 = 20\%$ Ответ: 20%.
3. На доске последовательно выписаны такие пять чисел, что каждое следующее из них на одну и ту же величину больше предыдущего. Сумма квадратов этих чисел равна 40, а сумма их же кубов равна 0. Найдите выписанные числа. Решение:
   Обозначим числа как: $a - 2d$, $a - d$, $a$, $a + d$, $a + 2d$ (составляют арифметическую прогрессию с разностью d).
   Сумма квадратов:
   $(a - 2d)^2 + (a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 = 5a^2 + 10d^2 = 40$
   Сумма кубов:
   $(a - 2d)^3 + (a - d)^3 + a^3 + (a + d)^3 + (a + 2d)^3 = 5a^3 + 30a d^2 = 0$
   Из второго уравнения: $5a(a^2 + 6d^2) = 0 \Rightarrow a = 0$
   Подставляем $a = 0$ в первое уравнение:
   $5 \cdot 0 + 10d^2 = 40 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$
   Получаем наборы чисел: $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ и $4$, $2$, $0$, $-2$, $-4$. Ответ: $-4$, $-2$, $0$, $2$, $4$ (и обратная последовательность).
4. Найти количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых содержится цифра 0, но не содержится цифра 9. Решение:
   Всего чисел без цифры 9: для каждой цифры 8 вариантов первой цифры (1-8) и 9 вариантов остальных (0-8) → $8 \cdot 9^3 = 5832$.
   Числа без цифр 0 и 9: первая цифра 1-8, остальные 1-8 → $8 \cdot 8^3 = 4096$.
   Числа содержащие хотя бы один 0 и ни одного 9: $5832 - 4096 = 1736$. Ответ: 1736.
5. В прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5 вписываются всевозможные прямоугольные треугольники так, что их катеты параллельны катетам исходного треугольника, а вершины лежат на разных его сторонах (не в вершинах). Найдите наибольшее значение площади вписанных треугольников. Решение:
   Координаты вершины нового треугольника на гипотенузе: обозначим перемещение по катетам исходного треугольника как $(12t, 5(1-t))$, тогда катеты вписанного треугольника $12t$ и $5(1-t)$.
   Площадь треугольника: $S(t) = \frac{1}{2} \cdot 12t \cdot 5(1-t) = 30t(1-t)$.
   Максимум квадратичной функции достигается при $t = 0.5$.
   $S_{max} = 30 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 7.5$. Ответ: 7.5.