СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 вариант 2

1. На предприятии за первый год число рабочих возросло на 60%, а в последующие два года оно сокращалось на 20% за каждый год. Найдите исходное число рабочих на предприятии, если в итоге за три года оно увеличилось на 36.
2. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x - 1\rvert - 3} = 1. \]
3. Произведение двух чисел равно удвоенной их сумме, а утроенное произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
4. На сторонах \(AB\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) площадью 16 взяты соответственно такие точки \(P\) и \(Q\), что площадь треугольника \(CPQ\) равна \(\tfrac{13}{2}\), а площадь треугольника \(CDQ\) втрое больше площади треугольника \(CBP\). Найдите площадь треугольника \(APQ\).
5. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно шести, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?

1. $1500$
2. $x = 5$\; и\; $x = -3$
3. $0,\,0$\; и\; $5 + \sqrt{5},\;5 - \sqrt{5}$
4. $\displaystyle\frac{3}{2}$
5. $40$

Решения задач

1. На предприятии за первый год число рабочих возросло на 60%, а в последующие два года оно сокращалось на 20% за каждый год. Найдите исходное число рабочих на предприятии, если в итоге за три года оно увеличилось на 36.
   Решение: Пусть исходное число рабочих — $x$. После первого года их количество стало $1,6x$. Затем:
   • После второго года: $0,8 \cdot 1,6x = 1,28x$.
   • После третьего года: $0,8 \cdot 1,28x = 1,024x$.
   Изменение за три года: $1,024x - x = 0,024x$. По условию: $0,024x = 36 \implies x = 1500$.
   Ответ: 1500.
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x - 1\rvert - 3} = 1. \] Решение: \[ \frac{1}{\lvert x - 1\rvert - 3} = 1 \implies \lvert x - 1\rvert - 3 = 1 \implies \lvert x -1\rvert = 4. \] Раскрываем модуль:
   • $x - 1 = 4 \implies x = 5$.
   • $x - 1 = -4 \implies x = -3$.
   Проверка знаменателя: подстановка подтверждает, что выражения $\lvert5-1\rvert -3 = 1$ и $\lvert-3-1\rvert -3 = 1$ не равны нулю.
   Ответ: $-3;\ 5$.
   
   
3. Произведение двух чисел равно удвоенной их сумме, а утроенное произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
   Решение: Пусть числа $a$ и $b$. По условию: \[ \begin{cases} ab = 2(a + b), \\ 3ab = a^2 + b^2. \end{cases} \] Из первого уравнения: $ab = 2(a + b)$. Подставим во второе: \[ 3 \cdot 2(a + b) = a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 - 6a - 6b = 0. \] Преобразуем в квадраты: \[ (a - 3)^2 + (b - 3)^2 = 18. \] Выразим сумму из первого уравнения: $a + b = \frac{ab}{2}$. Подставим в квадратичную форму: \[ (a + b)^2 - 2ab - 6(a + b) = 0 \implies \left(\frac{ab}{2}\right)^2 - 2ab - 6 \cdot \frac{ab}{2} = 0. \] Получим дискриминант и решения: пары $(0; 0)$, $(5+\sqrt5; 5-\sqrt5)$, $(5-\sqrt5;5+\sqrt5)$.
   Ответ: $(0;\ 0)$, $(5+\sqrt5;\ 5-\sqrt5)$, $(5-\sqrt5;\ 5+\sqrt5)$.
   
   
4. На сторонах \(AB\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) площадью 16 взяты соответственно такие точки \(P\) и \(Q\), что площадь треугольника \(CPQ\) равна \(\tfrac{13}{2}\), а площадь треугольника \(CDQ\) втрое больше площади треугольника \(CBP\). Найдите площадь треугольника \(APQ\).
   Решение: Сторона квадрата: 4. Координаты:
   • $P(p;4)$ на $AB$, $Q(0;q)$ на $AD$.
   • Площадь $\triangle CDQ = 2q$, площадь $\triangle CBP = 2(4 - p)$. По условию: $2q = 3 \cdot 2(4 - p) \implies q = 3(4 - p)$.
   • Площадь $\triangle CPQ = \frac{13}{2} \implies |12(4-p) -3p(4 - p)| =13$.
   • Решаем уравнение: $p=3$, тогда $q=3$. Треугольник $APQ$ с вершинами $(0;4)$, $(3;4)$, $(0;3)$ имеет площадь $1,5$.
   Ответ: $\frac{3}{2}$.
   
   
5. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно шести, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?
   Решение: Требуются числа формата XXYY с условиями:
   • Используем пары цифр, сумма которых делится на 3, и хотя бы одна цифра чётная.
   • Разбираем случаи с двумя нулями и парами цифр 3,6,9.
   • Всего учитываем количество допустимых комбинаций и их вариаций.
   Ответ: 40.