СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

1. На предприятии за первый год число рабочих сократилось на 30\%, а в последующие два года оно возрастало на 20% за каждый год. Найдите исходное число рабочих на предприятии, если в итоге за три года оно увеличилось на 16.
2. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x + 1\rvert - 2} = 1. \]
3. Произведение двух чисел равно их сумме, а учтверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
4. На сторонах \(BC\) и \(CD\) квадрата \(ABCD\) площадью 9 взяты соответственно такие точки \(M\) и \(N\), что площадь треугольника \(AMN\) равна \(\tfrac{7}{2}\), а площадь треугольника \(ABM\) вдвое больше площади треугольника \(ADN\). Найдите площадь треугольника \(CMN\).
5. Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно трём, нечётно, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?

1. $2000$
2. $x = 2$ и $x = -4$
3. $0,\,0$ и $3 + \sqrt{3},\;3 - \sqrt{3}$
4. $1$
5. $41$

Решения задач

1. На предприятии за первый год число рабочих сократилось на $30\%$, а в последующие два года оно возрастало на $20\%$ за каждый год. Найдите исходное число рабочих на предприятии, если в итоге за три года оно увеличилось на 16.
   Решение: Пусть исходное количество рабочих \( x \).
   После первого года: \( 0{,}7x \).
   После второго года: \( 0{,}7x \cdot 1{,}2 = 0{,}84x \).
   После третьего года: \( 0{,}84x \cdot 1{,}2 = 1{,}008x \).
   Изменение за три года: \( 1{,}008x - x = 0{,}008x = 16 \).
   \( x = \frac{16}{0{,}008} = 2000 \).
   Ответ: 2000.
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{1}{\lvert x + 1\rvert - 2} = 1. \]
   Решение:
   \( \frac{1}{|x + 1| - 2} = 1 \Rightarrow |x + 1| = 3 \).
   1. \( x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \).
   2. \( x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4 \).
   Проверка подтверждает допустимость решений.
   Ответ: \( 2 \); \( -4 \).
   
   
3. Произведение двух чисел равно их сумме, а учетверённое произведение — сумме их квадратов. Найдите все пары таких чисел.
   Решение: Пусть числа \( a \) и \( b \).
   Система уравнений: \[ \begin{cases} ab = a + b, \\ 4ab = a^2 + b^2. \end{cases} \] Подставляем \( ab = a + b \) во второе уравнение:
   \( 4(a + b) = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 - 4a - 4b = 0 \).
   Добавляя 8 к обеим частям:
   \( (a - 2)^2 + (b - 2)^2 = 8 \).
   Из первого уравнения \( S = a + b \), \( P = ab = S \). \[ S(S - 4) = 4S \Rightarrow S = 6 \text{ или } 0. \] При \( S = 6 \): \( a \) и \( b \) корни уравнения \( t^2 - 6t + 6 = 0 \).
   Корни: \( 3 \pm \sqrt{3} \).
   При \( S = 0 \): \( a = b = 0 \).
   Ответ: \( (0; 0) \), \( (3 + \sqrt{3}; 3 - \sqrt{3}) \), \( (3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}) \).
   
   
4. На сторонах \( BC \) и \( CD \) квадрата \( ABCD \) площадью 9 взяты точки \( M \) и \( N \). Площадь треугольника \( AMN \) равна \( \frac{7}{2} \), а площадь \( ABM \) вдвое больше площади \( ADN \). Найдите площадь треугольника \( CMN \).
   Решение: Сторона квадрата 3. Пусть \( M(3; m) \), \( N(n; 3) \). Условия:
   \( \frac{3m}{2} = 2 \cdot \frac{3(3 - n)}{2} \Rightarrow m = 2(3 - n) \).
   Площадь \( AMN \): \( |9 - mn| = 7 \Rightarrow mn = 2 \).
   Решая систему уравнений, находим \( n = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \). Подставляя, площадь \( CMN \) равна \( \frac{1}{2} |(3 - n)(3 - m)| \).
   Ответ: \( 1 \).
   
   
5. Сколько существует четырёхзначных чисел, кратных трём, нечётных, с двумя различными цифрами и без трёх повторяющихся?
   Решение: Различаем пары цифр:
   1. Обе нечётные, сумма кратна трём: пары \( (1{,}5) \), \( (3{,}9) \), \( (5{,}7) \). Каждая даёт \( 6 \) чисел: \( 3 \cdot 6 = 18 \).
   2. Одна чётная, одна нечётная: пары \( (a,b) \), сумма кратна трём, \( D = a \):
   - \( a = 1 \): \( b = 2{,}8 \). - \( a = 3 \): \( b = 0{,}6 \). - \( a = 5 \): \( b = 4 \). - \( a = 7 \): \( b = 2{,}8 \). - \( a = 9 \): \( b = 0{,}6 \).
   Для пар с \( b = 0 \) (с учётом запрета нулей в начале): \( 2 \cdot 3 = 6 \).
   Для остальных пар: \( 7 \cdot 6 = 42 \).
   Итого: \( 18 + 6 + 42 = 66 \).
   Ответ: \( 66 \).