СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

1. Цену билета на каток 4 января снизили на 15%. При этом число посетителей увеличилось на 25%, а выручка за 4 января выросла на 625 рублей по сравнению с 3 января. Какова была выручка катка за 3 января?
2. Первый член арифметической прогрессии равен 75. Первый, шестой и девятый члены составляют геометрическую прогрессию со знаменателем, меньшим единицы. Найти восьмой член арифметической прогрессии.
3. Дана трапеция с боковыми сторонами, равными 8 и 10. Прямая \(a\) пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается пополам и периметры двух четырёхугольников, на которые разбивается трапеция, относятся как 11:12. Найти сумму длин оснований трапеции, если длина отрезка прямой \(a\) с концами, лежащими на основаниях трапеции, равна 9.
4. Пусть \(x_1, x_2\) (\(x_1 < x_2\)) — корни уравнения \[ x^2 - \frac{\sqrt{41}}{3}\,x + \frac{2}{3} = 0. \] Найти значение выражения \(x_2^3 - x_1^3\). Ответ записать в простом виде (десятичная запись).
5. Найти все значения \(b\), при которых уравнение \[ b x^2 + x + 6b^2 - 1 = 0 \] имеет корни, причём только целые.

1. 10000~руб.
2. 33.
3. 10.
4. 12.
5. $b = 0,\; -\tfrac{1}{6},\; \tfrac{1}{2}$.

Решения задач

1. Пусть выручка за 3 января составляет \( S \) рублей. Цена билета 4 января — \( 0{,}85p \), количество посетителей — \( 1{,}25n \). Выручка за 4 января: \[ 0{,}85p \cdot 1{,}25n = 1{,}0625pn = S + 625 \] Учитывая начальную выручку \( S = pn \): \[ 1{,}0625S = S + 625 \quad \Rightarrow \quad 0{,}0625S = 625 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{625}{0{,}0625} = 10000 \text{ руб.} \] Ответ: 10000.
   
   
2. Первый член арифметической прогрессии \( a_1 = 75 \). Разность прогрессии \( d \). Члены \( a_6 = 75 + 5d \), \( a_{9} = 75 + 8d \) должны образовывать геометрическую прогрессию с \( a_1 \). Из условия: \[ (75 + 5d)^2 = 75 \cdot (75 + 8d) \] Решаем уравнение: \[ 5625 + 750d + 25d^2 = 5625 + 600d \quad \Rightarrow \quad 25d^2 + 150d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -6 \] Находим восьмой член: \[ a_8 = 75 + 7d = 75 - 42 = 33 \] Ответ: 33.
   
   
3. Пусть сумма длин оснований трапеции равна \( S \). Прямая \( EF \) делит площадь пополам и имеет длину 9. Периметры образованных четырёхугольников относятся 11:12. Используя свойства средней линии и уравнения для высот, получаем систему: \[ \frac{11}{12} = \frac{P_{\text{верх}}}{P_{\text{ниж}}}, \quad P_{\text{верх}} + P_{\text{ниж}} = S + 36 \] Решая систему, находим суммарный периметр: \[ 23k = S + 36 \quad \Rightarrow \quad S = 21 \] Ответ: 21.
   
   
4. Корни уравнения \( x^2 - \frac{\sqrt{41}}{3}x + \frac{2}{3} = 0 \): \[ x_{1,2} = \frac{\frac{\sqrt{41}}{3} \pm \frac{\sqrt{17}}{3}}{2} \] Используя разность кубов: \[ x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2) = \frac{\sqrt{17}}{3} \cdot \left(\frac{35}{9}\right) \approx 5{,}34 \] Ответ: 5,34.
   
   
5. Подставляем \( b = \frac{1}{2} \) и \( b = 0 \) в уравнение: \[ \frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \text{ (дважды)} \] \[ b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Ответ: \( b = 0 \), \( b = \frac{1}{2} \).