8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 9

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2018
Печать
youit.school ©
СУНЦ МГУ. Резервный экзамен, 3 июня 2018 г. Задание для поступающих в 10 класс химико-биологического отделения (на 120 мин)

Математика. Вариант 10-ХБ-9

  1. В сосуд, содержащий 15 кг $20\%$-го раствора соли, добавили одинаковое количество $10\%$-го раствора и $5\%$-го раствора той же соли, получив в результате $15\%$-й раствор. Сколько килограммов этого раствора было получено?


  2. Решите неравенство: \[ \sqrt{x + 2019} < 1. \]

  3. Найдите количество четырехзначных (в десятичной системе счисления) натуральных чисел, кратных 9, но не кратных 21.


  4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(AC = 4\) взята точка \(T\), а на гипотенузе \(AB\) — точка \(Q\) так, что \(AS = 1\), \(BT = 2\) и \(BQ = 1\). Найдите площадь четырехугольника \(CSQT\).


  5. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых отношение корней квадратного трехчлена \[ x^2 - 2\sqrt{5x} + a^2 - 2a + 5 \] является целым числом (кратный корень считается, как два одинаковых корня).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Вариант 10-ХБ-9

  1. 25
  2. \([-2019; 2018)\)
  3. 857
  4. 4
  5. 1, \( \frac{4}{3} \), \( \frac{8}{3} \), 3
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В сосуд, содержащий 15 кг $20\%$-го раствора соли, добавили одинаковое количество $10\%$-го и $5\%$-го растворов, получив в результате $15\%$-й раствор. Сколько килограммов этого раствора было получено?
    Решение: Пусть добавили по $x$ кг каждого раствора. Масса соли в исходном растворе:
    $15 \cdot 0,2 = 3$ кг.
    Соль добавленных растворов:
    $0,1x + 0,05x = 0,15x$ кг.
    Концентрация нового раствора:
    $\frac{3 + 0,15x}{15 + 2x} = 0,15$.
    Умножаем обе части на $(15 + 2x)$:
    $3 + 0,15x = 0,15(15 + 2x)$
    $3 + 0,15x = 2,25 + 0,30x$
    $0,75 = 0,15x$
    $x = 5$
    Итоговый раствор: $15 + 2 \cdot 5 = 25$ кг.
    Ответ: 25 кг.
  2. Решите неравенство: \[ \sqrt{x + 2019} < 1 \]
    Решение: Корень определен при $x + 2019 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2019$. Возводим в квадрат:
    $x + 2019 < 1^2$
    $x < -2018$
    Совмещаем условия: $-2019 \leq x < -2018$.
    Ответ: $[-2019; -2018)$.
  3. Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, кратных 9, но не кратных 21.
    Решение: Четырёхзначные числа от 1008 (первое кратное 9) до 9999. Общее количество:
    $\frac{9999 - 1008}{9} + 1 = 1000$ чисел.
    Числа, кратные и 9, и 21 (LCM(9,21)=63):
    Первое: 1008, последнее: 9954. Количество:
    $\frac{9954 - 1008}{63} + 1 = 143$.
    Искомое количество: $1000 - 143 = 857$.
    Ответ: 857.
  4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) на катете \(AC = 4\) взята точка \(T\), а на гипотенузе \(AB\) — точка \(Q\) так, что \(AS = 1\), \(BT = 2\) и \(BQ = 1\). Найдите площадь четырёхугольника \(CSQT\).
    Решение: Используем координатную систему с \(C(0;0)\), \(A(0;4)\), \(B(3;0)\) (катет \(BC = 3\) теорема Пифагора).
    Точка \(S(0;3)\) делением \(AC\). Точка \(T(2;0)\) на \(BC\). Точка \(Q\) на \(AB\) найдена через деление отрезка в соотношении \(BQ = 1\), \(QA = AB - 1\): \(Q(1;2)$. \\ Площадь четырёхугольника через координаты: \\ $CSQT: C(0;0)$, $S(0;3)$, $Q(1;2)$, $T(2;0)$. По формуле площади многоугольника: \\ $S = \frac{1}{2}|0 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0)| = \frac{1}{2}|0 - 7| = 3.5$. \\ Ответ: 3,5.
  5. Найдите все значения \(a\), при которых отношение корней квадратного трёхчлена \[ x^2 - 2\sqrt{5}x + a^2 - 2a + 5 \] является целым числом. \\ Решение: Дискриминант $D = -4a^2 + 8a \geq 0 \Rightarrow a \in [0;2]$. Корни: \\ $x_{1,2} = \sqrt{5} \pm \sqrt{-a^2 + 2a}$. \\ Отношение корней $t = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{-a^2 + 2a}}{\sqrt{5} - \sqrt{-a^2 + 2a}}$, целое. Возможные $t = 1,2$: \\
    • $t=1$: кратный корень при $D=0 \Rightarrow a=0;2$.
    • $t=2$: уравнение приводит к $a = \frac{1}{3}; \frac{5}{3}$.
    Ответ: $0; 2; \frac{1}{3}; \frac{5}{3}$.
Материалы школы Юайти