СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 28 мая 2017 Вариант 2

1. В колбе находился 22% раствор сахара. Одну десятую часть раствора отлили в пробирку, а из оставшейся части в колбе выпаривали воду до тех пор, пока сахара в ней не стало 44%. Затем раствор из пробирки перелили обратно в колбу. Какой процент сахара стал в растворе в колбе?
2. Назовём натуральное число «сильным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 19 без остатка. Например, число 98 — сильное, а 38 и 100 — нет. Сколько «сильных» чисел от 1 до 300?
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x - 5 \rvert}{x^2 - 3x - 10} > 0. \]
4. В выпуклом четырёхугольнике \(KLMN\) угол \(KLM\) равен \(150^\circ\), угол \(MKN\) равен \(69^\circ\), угол \(KMN\) равен \(81^\circ\). Найти радиус описанной вокруг треугольника \(KLN\) окружности, если \(KM = 2\).
5. В 10А учится 6 девочек, в 10Б — 5 девочек, в 10В — 3 девочки и в 10Д — 4 девочки. Надо выбрать трёх девочек так, чтобы все они были из разных классов. Сколькими способами это можно сделать?

Физико-математическое отделение. Москва. Май 2017 года.
Письменная работа по математике для поступающих в 10 класс
Вариант 2

1. 40\%
2. 264
3. $(-\infty; -2)\cup(5; +\infty)$
4. 2
5. 342

Решения задач

1. Исходный раствор содержал 22% сахара. Примем объем раствора за 100 единиц:
   - Отлили $\frac{1}{10}$ часть: осталось $90$ ед. раствора с $90 \cdot 0,22 = 19,8$ ед. сахара.
   - После выпаривания до 44% концентрации: новый объем $V = \frac{19,8}{0,44} = 45$ ед.
   - Добавили раствор из пробирки (10 ед. с $10 \cdot 0,22 = 2,2$ ед. сахара): Итоговая концентрация: $\frac{19,8 + 2,2}{45 + 10} = \frac{22}{55} = 0,4 = 40\%$.
   Ответ: 40%.
   
   
2. Числа от 1 до 300. Используем принцип включения-исключения:
   - Всего чисел: 300
   - Квадраты: $\lfloor\sqrt{300}\rfloor = 17$
   - Кубы: $\lfloor\sqrt[3]{300}\rfloor = 6$
   - Кратные 19: $\lfloor\frac{300}{19}\rfloor = 15$
   - Шестые степени (пересечение квадратов и кубов): $\lfloor300^{1/6}\rfloor = 3$ (1, 64, 729>300 → 2)
   - Кратные 19 и квадраты: $\lfloor\sqrt{\frac{300}{19^2}}\rfloor = 0$
   - Кратные 19 и кубы: аналогично 0
   Формула: \[ 300 - (17 + 6 + 15) + (2) = 300 - 38 + 2 = 264 \]
   Ответ: 264.
   
   
3. Неравенство: \[ \frac{|x - 5|}{(x - 5)(x + 2)} > 0 \]
   Допустимые значения: $x \neq 5, -2$
   - При $x > 5$: $\frac{1}{x + 2} > 0$ → $x > 5$
   - При $x 0$ → $x + 2 < 0$ → $x < -2$
   Решение: $x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$
   Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.
   
   
4. Построим треугольник $KMN$:
   - Углы: $\angle MKN = 69^\circ$, $\angle KMN = 81^\circ$ → $\angle KMN = 30^\circ$
   По теореме синусов для $\triangle KMN$: \[ \frac{KM}{\sin 30^\circ} = \frac{KN}{\sin 81^\circ} \Rightarrow KN = \frac{2 \cdot \sin 81^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 3,95 \] В треугольнике $KLN$ по теореме синусов: \[ R = \frac{KN}{2 \sin \angle KLN} \] Угол $\angle KLN = 150^\circ$, значит: \[ R = \frac{3,95}{2 \cdot 0,5} = 3,95 \approx 4 \] Ответ: 4.
   
   
5. Выбор трёх девочек из разных классов (4 класса, выбрать 3):
   Комбинации классов: $\binom{4}{3} = 4$
   Сумма произведений: \[ 6 \cdot 5 \cdot 3 + 6 \cdot 5 \cdot 4 + 6 \cdot 3 \cdot 4 + 5 \cdot 3 \cdot 4 = 90 + 120 + 72 + 60 = 342 \]
   Ответ: 342.