СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 28 мая 2017 Вариант 1

1. В колбе находился 11% раствор соли. Одну десятую часть раствора отлили в пробирку, а из оставшейся части в колбе выпаривали воду до тех пор, пока соли в ней не стало 22\%. Затем раствор из пробирки перелили обратно в колбу. Какой процент соли стал в растворе в колбе?
2. Назовем натуральное число «упорным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 17 без остатка. Например, число 98 — упорное, а 34 и 100 — нет. Сколько «упорных» чисел от 1 до 300?
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x - 3\rvert}{x^2 - x - 6} > 0. \]
4. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) угол \(ABC\) равен \(120^\circ\), угол \(CAD\) равен \(34^\circ\), угол \(ACD\) равен \(86^\circ\). Найти радиус описанной вокруг треугольника \(ABD\) окружности, если \(AC = 2\sqrt{3}\).
5. В 9А учатся 7 мальчиков, в 9Б — 6 мальчиков, в 9В — 8 мальчиков и в 9Г — 4 мальчика. Надо выбрать трёх мальчиков так, чтобы все были из разных классов. Сколькими способами это можно сделать?

1. 20%
2. 263
3. $(-\infty; -2)\;\cup\;(3; +\infty)$
4. 2
5. 920

Решения задач

1. В колбе находился 11% раствор соли. Одну десятую часть раствора отлили в пробирку, а из оставшейся части в колбе выпаривали воду до тех пор, пока соли в ней не стало 22\%. Затем раствор из пробирки перелили обратно в колбу. Какой процент соли стал в растворе в колбе?
   Решение: Пусть исходный раствор в колбе составляет 100 условных единиц. Тогда соли в нём 11 ед., воды — 89 ед. Отлили 10 ед. раствора (1/10 часть), в которых соли $11 \cdot 0,1 = 1,1$ ед. В колбе осталось 90 ед. раствора (9 ед. соли, 81 ед. воды). После выпаривания концентрация соли стала 22\%, значит масса раствора уменьшилась до $\frac{9}{0,22} ≈ 40,91$ ед. Затем добавили раствор из пробирки (10 ед., 1,1 ед. соли). Общая масса: $40,91 + 10 = 50,91$ ед. Общая соль: $9 + 1,1 = 10,1$ ед. Концентрация: $\frac{10,1}{50,91} \cdot 100% ≈ 19,84\%$.
   Ответ: ≈20%.
   
   
2. Назовем натуральное число «упорным», если оно не является ни квадратом, ни кубом натурального числа и не делится на 17 без остатка. Сколько «упорных» чисел от 1 до 300?
   Решение: Всего чисел — 300. Вычтем квадраты ($\lfloor\sqrt{300}\rfloor = 17$ чисел), кубы ($\lfloor\sqrt[3]{300}\rfloor = 6$ чисел), числа кратные 17 ($\lfloor\frac{300}{17}\rfloor=17$). По принципу включения-исключения: квадраты-кубы (шестые степени, $\lfloor\sqrt[6]{300}\rfloor=3$), квадраты ×17 (до 300: 17, 68, ..., $\lfloor\frac{300}{17\cdot4}\rfloor=4$), кубы ×17 ($\lfloor\frac{300}{17\cdot8}\rfloor=2$). Сумма: 300 - (17+6+17) + (3+4+2) - (0) = 300 - 40 +9 = 269.
   Ответ: 269.
   
   
3. Решите неравенство \[ \frac{\lvert x - 3\rvert}{x^2 - x - 6} > 0. \]
   Решение: Знаменатель $x^2 - x -6 = (x-3)(x+2)$. Учитываем ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq -2$. Поскольку $\lvert x-3\rvert \geq 0$, неравенство выполняется при:
   1) $\lvert x-3\rvert >0$ и $(x-3)(x+2) >0$.
   2) $x \neq 3$, значит $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.
   Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.
   
   
4. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) угол \(ABC\) равен \(120^\circ\), угол \(CAD\) равен \(34^\circ\), угол \(ACD\) равен \(86^\circ\). Найти радиус описанной вокруг треугольника \(ABD» окружности, если \(AC = 2\sqrt{3}\).
   Решение: Рассмотрим треугольник ACD: угол CAD=34°, угол ACD=86°, значит угол ADC=60°. По теореме синусов: $\frac{AD}{\sin86°} = \frac{AC}{\sin60°}$. $AD = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin86°}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 \sin86° ≈4 \cdot 0,9976≈3,99 ≈4$. В треугольнике ABD: угол ABD=120°, AD≈4. По теореме синусов: $2R = \frac{AD}{\sin120°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$. Радиус $R = \frac{4}{\sqrt{3}} ≈2,309$.
   Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
   
   
5. В 9А учатся 7 мальчиков, в 9Б — 6, в 9В — 8, в 9Г — 4. Надо выбрать трёх мальчиков из разных классов. Сколькими способами это можно сделать?
   Решение: Возможные комбинации классов: 1) 9А,9Б,9В: $7 \cdot6\cdot8=336$ 2) 9А,9Б,9Г: $7\cdot6\cdot4=168$ 3) 9А,9В,9Г: $7\cdot8\cdot4=224$ 4) 9Б,9В,9Г: $6\cdot8\cdot4=192$ Сумма: 336+168+224+192=920.
   Ответ: 920 способов.