СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 2

1. Трактор приехал из пункта \(A\) в пункт \(B\), находящийся на расстоянии 40 км от пункта \(A\). Его скорость была на 1 км/ч меньше обычной, поэтому он приехал на 4 минуты позже, чем планировалось. С какой скоростью ехал трактор?
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \]
3. При каких значениях \(b\) выражение \[ 2\sqrt{b + 1} \;-\;\sqrt{\frac{1 + b}{2} - \frac{2b + 1}{b + 1}} \] имеет смысл?
4. В остроугольном треугольнике \(MNP\) угол \(P\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(NMO\), где \(O\) — центр описанной около треугольника \(MNP\) окружности.
5. Какие члены геометрической прогрессии \[ 1,2,4,\dots,512 \] надо удалить, чтобы сумма оставшихся членов была равна 1000?

Решения задач

1. Трактор приехал из пункта \(A\) в пункт \(B\), находящийся на расстоянии 40 км от пункта \(A\). Его скорость была на 1 км/ч меньше обычной, поэтому он приехал на 4 минуты позже, чем планировалось. С какой скоростью ехал трактор?
   Решение: Пусть обычная скорость трактора \(v\) км/ч, тогда фактическая скорость \(v-1\) км/ч. Время в пути при обычной скорости \(\frac{40}{v}\) часов, при уменьшенной скорости \(\frac{40}{v-1}\) часов. Разница во времени:
   \(\frac{40}{v-1} - \frac{40}{v} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}\)
   Умножим на \(15v(v-1)\):
   \(600v - 600(v-1) = v(v-1)\)
   \(600 = v^2 - v\)
   \(v^2 - v - 600 = 0\)
   \(D = 1 + 2400 = 2401 = 49^2\)
   \(v = \frac{1 \pm 49}{2}\). Берём положительный корень: \(v = 25\) км/ч
   Фактическая скорость: \(25 - 1 = 24\) км/ч
   Ответ: 24 км/ч.
   
   
2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 3x - 2 = 0. \] Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: \(x \geq 0\)
   Уравнение принимает вид:
   \(x^2 - 3x - 2 = 0\)
   \(D = 9 + 8 = 17\)
   \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\). Учитывая \(x \geq 0\), оба корня подходят.
   Случай 2: \(x < 0\)
   Уравнение принимает вид:
   \(-x^2 - 3x - 2 = 0\)
   \(x^2 + 3x + 2 = 0\)
   \(x = -1\) или \(x = -2\). Оба корня удовлетворяют \(x < 0\).
   Ответ: \(-2\), \(-1\), \(\frac{3 - \sqrt{17}}{2}\), \(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\).
   
   
3. При каких значениях \(b\) выражение \[ 2\sqrt{b + 1} \;-\;\sqrt{\frac{1 + b}{2} - \frac{2b + 1}{b + 1}} \] имеет смысл?
   Решение: Определим условия существования корней:
   1. \(b + 1 \geq 0 \Rightarrow b \geq -1\)
   2. \(\frac{1 + b}{2} - \frac{2b + 1}{b + 1} \geq 0\)
   Приведём к общему знаменателю \(2(b + 1)\):
   \((1 + b)^2 - 2(2b + 1) \geq 0\)
   \(b^2 + 2b + 1 - 4b - 2 \geq 0\)
   \(b^2 - 2b - 1 \geq 0\)
   Корни уравнения \(b^2 - 2b - 1 = 0\):
   \(b = 1 \pm \sqrt{2}\). Решение неравенства: \(b \leq 1 - \sqrt{2}\) или \(b \geq 1 + \sqrt{2}\)
   Учитывая \(b \geq -1\), получаем:
   \(b \in [-1; 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; +\infty)\)
   Ответ: \(b \in [-1; 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; +\infty)\).
   
   
4. В остроугольном треугольнике \(MNP\) угол \(P\) равен \(78^\circ\). Найдите угол \(NMO\), где \(O\) — центр описанной около треугольника \(MNP\) окружности.
   Решение: Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. Угол \(NMO\) равен половине центрального угла, соответствующего дуге \(NP\):
   \(\angle NMO = \frac{1}{2}\angle NOP\)
   Центральный угол \(\angle NOP = 2\angle NMP\). Из суммы углов треугольника:
   \(\angle N = 180^\circ - 78^\circ - \angle M\). Так как треугольник остроугольный, все углы меньше \(90^\circ\). Решая, получаем:
   \(\angle NMO = 51^\circ\)
   Ответ: \(51^\circ\).
   
   
5. Какие члены геометрической прогрессии \[ 1,2,4,\dots,512 \] надо удалить, чтобы сумма оставшихся членов была равна 1000?
   Решение: Прогрессия имеет \(n = 10\) членов (\(b_n = 1 \cdot 2^{n-1}\)). Сумма всех членов:
   \(S_{10} = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023\)
   Необходимо удалить члены с суммой \(1023 - 1000 = 23\). Подходящие члены:
   \(16 + 4 + 2 + 1 = 23\)
   Ответ: члены 1, 2, 4 и 16.