8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2016 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2016
Печать
youit.school ©
ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
в 10 класс химической и биологической специализации СУНЦ МГУ
Москва, март 2016
Вариант 1


  1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?
  2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \]
  3. При каких значениях \(a\) выражение \[ 2\sqrt{a - 1} - \sqrt{\frac{3 - 2a}{\,a - 1\,}} + \frac{a - 1}{2} \] имеет смысл?
  4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(86^\circ\). Найдите угол \(BAO\), где \(O\) — центр описанной около треугольника \(ABC\) окружности.
  5. Какие члены геометрической прогрессии \[ 1, 2, 4, \dots, 1024 \] надо удалить, чтобы сумма оставшихся членов была равна 2016?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Велосипедисту надо было проехать расстояние в 30 км. Выехав на 3 минуты позже назначенного срока, он ехал со скоростью на 1 км/ч большей, чем планировал, и приехал на место вовремя. С какой скоростью ехал велосипедист?
    Решение: Пусть планируемая скорость велосипедиста — \( v \) км/ч. Тогда время по плану:
    \( t = \frac{30}{v} \) часов.
    Фактическая скорость: \( v + 1 \) км/ч, время: \( \frac{30}{v + 1} \) часов.
    Разница во времени: \( \frac{30}{v} - \frac{30}{v + 1} = \frac{3}{60} = 0,05 \) часа.
    Решаем уравнение:
    \( 30(v + 1) - 30v = 0,05v(v + 1) \)
    \( 30 = 0,05v^2 + 0,05v \)
    \( v^2 + v - 600 = 0 \)
    Дискриминант: \( D = 1 + 2400 = 2401 \), корень: \( v = \frac{-1 + 49}{2} = 24 \) км/ч.
    Фактическая скорость: \( 24 + 1 = 25 \) км/ч.
    Ответ: 25 км/ч.
  2. Решить уравнение \[ x\lvert x\rvert - 4x + 3 = 0. \]
    Решение: Рассмотрим два случая.
    Случай 1: \( x \geq 0 \). Тогда \( |x| = x \):
    \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
    Корни: \( x = 1 \), \( x = 3 \). Оба подходят.
    Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \):
    \( -x^2 - 4x + 3 = 0 \)
    \( x^2 + 4x - 3 = 0 \)
    Корни: \( x = -2 \pm \sqrt{7} \). Из них \( -2 - \sqrt{7} < 0 \).
    Ответ: \( 1 \), \( 3 \), \( -2 - \sqrt{7} \).
  3. При каких значениях \(a\) выражение \[ 2\sqrt{a - 1} - \sqrt{\frac{3 - 2a}{\,a - 1\,}} + \frac{a - 1}{2} \] имеет смысл?
    Решение: Определим область определения.
    1. \( a - 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq 1 \).
    2. \( \frac{3 - 2a}{a - 1} \geq 0 \). Решаем методом интервалов:
    Числитель \( 3 - 2a \geq 0 \Rightarrow a \leq 1,5 \).
    Знаменатель \( a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1 \).
    Пересечение: \( 1 < a \leq 1,5 \).
    Ответ: \( a \in (1; 1,5] \).
  4. В остроугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(86^\circ\). Найдите угол \(BAO\), где \(O\) — центр описанной около треугольника \(ABC\) окружности.
    Решение: Центр описанной окружности \(O\) лежит внутри треугольника. Угол \(BAO\) связан с углом \(C\):
    \( \angle BAO = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 86^\circ = 4^\circ \).
    Ответ: \( 4^\circ \).
  5. Какие члены геометрической прогрессии \[ 1, 2, 4, \dots, 1024 \] надо удалить, чтобы сумма оставшихся членов была равна 2016?
    Решение: Сумма всех членов прогрессии:
    \( S = 2^{11} - 1 = 2047 \).
    Сумма удаленных членов: \( 2047 - 2016 = 31 \).
    Число 31 в двоичной системе: \( 11111_2 \), что соответствует членам \( 1, 2, 4, 8, 16 \).
    Ответ: \( 1, 2, 4, 8, 16 \).
Материалы школы Юайти