8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2014
Печать
youit.school ©
Вариант 2

  1. Вычислите без использования калькулятора \[ \frac{0,2^{-1} - 0,6^{-1}}{0,2^{2} + 0,6^{-2}} \;\Bigg/\; \frac{0,2 \cdot 0,6}{(0,2 + 0,6)^{2} - 3 \cdot 0,2 \cdot 0,6}. \]

  2. Решите неравенство \[ \frac{3x - 1}{x - 4} \;>\; \frac{3x + 9}{x + 1}. \]

  3. Найдите все такие $X$ и $Y$, что число вида \[ 56X2Y \] делится на 36.

  4. Мама испекла пироги, при этом, пироги с вареньем составляли 45%, с картошкой— 30%, а с капустой— 25% от общего числа пирогов. Прибежавшие с прогулки дети съели часть пирожков, причём количество съеденных пирожков с капустой составляет 120% от количества съеденных пирожков с картошкой и 60% от количества съеденных пирожков с вареньем. Сколько пирожков съели ребята, если осталось 23 пирожка с картошкой и $\tfrac{1}{4}$ всех пирожков с капустой?

  5. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, причём центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника. Найдите площадь четырёхугольника, если длина диагонали $AC$ равна 10, а \[ \cos \angle CAD = \frac{3}{5}. \]


Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы. Вариант 2

  1. $-\dfrac{3}{16}$.
  2. $(-7; -1)\cup(4; +\infty)$.
  3. $(5; 0),\;(1; 4),\;(6; 8)$.
  4. $105$.
  5. $48$.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите без использования калькулятора \[ \frac{0,2^{-1} - 0,6^{-1}}{0,2^{2} + 0,6^{-2}} \;\Bigg/\; \frac{0,2 \cdot 0,6}{(0,2 + 0,6)^{2} - 3 \cdot 0,2 \cdot 0,6}. \] Решение:
    Преобразуем выражения по частям:
    $\frac{0,2^{-1} - 0,6^{-1}}{0,2^2 + 0,6^{-2}} = \frac{5 - \frac{5}{3}}{\frac{1}{25} + \frac{25}{9}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{634}{225}} = \frac{10}{3} \cdot \frac{225}{634} = \frac{1500}{634}$
    Вторая дробь:
    $\frac{0,2 \cdot 0,6}{(0,8)^2 - 0,36} = \frac{0,12}{0,64 - 0,36} = \frac{0,12}{0,28} = \frac{3}{7}$
    Тогда всё выражение:
    $\frac{1500}{634} : \frac{3}{7} = \frac{1500}{634} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1500 \cdot 7}{1902} = \frac{10500}{1902} = \frac{1750}{317} \approx 5.52$
    Ответ: $\frac{1750}{317}$.

  2. Решите неравенство \[ \frac{3x - 1}{x - 4} \;>\; \frac{3x + 9}{x + 1}. \] Решение:
    $(3x-1)(x+1) > (3x+9)(x-4)$
    $3x^2 + 2x - 1 > 3x^2 - 3x - 36$
    $5x + 35 > 0$
    $x > -7$
    Учитывая ОДЗ: $x \neq 4$ и $x \neq -1$
    Решение: $x \in (-7; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)$
    Ответ: $(-7; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; \infty)$.

  3. Найдите все такие $X$ и $Y$, что число вида \[ 56X2Y \] делится на 36. Решение:
    Условия делимости на 36 = 4·9:
    1. На 4: $\overline{2Y}$ делится на 4 ⇒ $Y ∈ \{0,4,8\}$
    2. На 9: сумма цифр $5+6+X+2+Y = 13+X+Y$ должна делиться на 9 Возможные варианты:
    • $Y=0$: $13+X$ кратно 9 ⇒ $X=5$ (13+5=18), число 56520
    • $Y=4$: $17+X$ кратно 9 ⇒ $X=1$ (17+1=18), число 56124
    • $Y=8$: $21+X$ кратно 9 ⇒ $X=6$ (21+6=27), число 56628
    Ответ: 56520, 56124, 56628.

  4. Мама испекла пироги: варенье $45\%$, картошка $30\%$, капуста $25\%$. Осталось $23$ картошки и $25%$ капусты. Съели $120\%$ картошки и $60\%$ варенья относительного количества съеденной капусты. Найти общее количество съеденных пирогов. Решение:
    Пусть общее количество пирогов $N$.
    С картошкой: $0.3N$
    С капустой: $0.25N → осталось \frac{1}{4} \cdot 0.25N = 0.0625N$
    Съели капусты: $0.25N - 0.0625N = 0.1875N$
    Тогда съели картошки: $\frac{0.1875N}{1.2} = 0.15625N$
    Съели варенья: $\frac{0.1875N}{0.6} = 0.3125N$
    Осталось картошки: $0.3N - 0.15625N = 0.14375N = 23 ⇒ N = 160$
    Общее съедено: $0.1875·160 + 0.15625·160 + 0.3125·160 = 30 + 25 + 50 = 105$
    Ответ: 105 пирожков.

  5. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей. Диагональ $AC=10$, $\cos \angle CAD=3/5$. Найти площадь. Решение:
    Так как центр окружности — точка пересечения диагоналей, диагонали перпендикулярны и равны диаметрам. Значит диагонали равны и пересекаются под прямым углом.
    $\angle CAD = \angle ACB$. Из условия:
    $\cos \alpha = \frac{3}{5} ⇒ \sin \alpha = \frac{4}{5}$
    Диагональ AC=10 ⇒ BH=AC·cosα=6, AH=AC·sinα=8 (где H — проекция)
    Площадь: $\frac{1}{2}·AC·BD·\sinθ$, но так как диагонали равны и перпендикулярны:
    Площадь ABCD: $\frac{AC·BD}{2} = \frac{10·10}{2} = 50$
    Ответ: 50.



Материалы школы Юайти