СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2021 год

1. Имеются два сплава: один содержит 10% никеля, другой — 30% никеля. Сколько килограммов первого и второго сплавов надо взять, чтобы получить 200 кг нового сплава, содержащего 25% никеля?
2. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа \(2022^{2021}\).
3. В геометрической прогрессии, состоящей из 2022 членов, сумма всех членов равна 2020, а сумма членов с нечётными номерами равна 404. Найдите знаменатель прогрессии.
4. На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону \(BC\) в точке \(D\), причём \(AB = BC = 10\) и \(BD:DC = 3:2\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
5. Найдите все функции \(f(x)\), каждая из которых для любого числа \(x\) удовлетворяет уравнению \[ f(2x - 1) = 4x^2 + 4. \]

Решения задач

1. Имеются два сплава: один содержит 10% никеля, другой — 30% никеля. Сколько килограммов первого и второго сплавов надо взять, чтобы получить 200 кг нового сплава, содержащего 25% никеля?
   Решение: Пусть масса первого сплава — $x$ кг, тогда масса второго сплава — $(200 - x)$ кг. Уравнение для содержания никеля:
   $0,1x + 0,3(200 - x) = 0,25 \cdot 200$
   $0,1x + 60 - 0,3x = 50$
   $-0,2x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = 50$ кг
   Тогда второго сплава потребуется $200 - 50 = 150$ кг.
   Ответ: 50 кг первого сплава и 150 кг второго.
2. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа \(2022^{2021}\).
   Решение: Последняя цифра числа определяется последней цифрой основания и показателем степени. Последняя цифра 2022 — 2. Рассмотрим цикл последних цифр степеней двойки:
   $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 6$, далее цикл повторяется (2,4,8,6).
   Показатель степени 2021 при делении на 4 даёт остаток $2021 \mod 4 = 1$. Значит, последняя цифра $2^{2021}$ совпадает с последней цифрой $2^1 = 2$.
   Ответ: 2.
3. В геометрической прогрессии, состоящей из 2022 членов, сумма всех членов равна 2020, а сумма членов с нечётными номерами равна 404. Найдите знаменатель прогрессии.
   Решение: Пусть $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии. Сумма всех членов:
   $S = \frac{b_1(q^{2022} - 1)}{q - 1} = 2020$
   Сумма членов с нечётными номерами образует геометрическую прогрессию с первым членом $b_1$ и знаменателем $q^2$:
   $S_{\text{неч}} = \frac{b_1(q^{2022} - 1)}{q^2 - 1} = 404$
   Разделим первое уравнение на второе:
   $\frac{q^2 - 1}{q - 1} = \frac{2020}{404} = 5 \quad \Rightarrow \quad q + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad q = 4$
   Ответ: 4.
4. На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону \(BC\) в точке \(D\), причём \(AB = BC = 10\) и \(BD:DC = 3:2\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
   Решение: Поскольку окружность построена на $AB$ как диаметр, угол $ADB$ — прямой ($\angle ADB = 90^\circ$). Из отношения $BD:DC = 3:2$ и $BC = 10$ получаем:
   $BD = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6$, $DC = 4$
   Из прямоугольного треугольника $ADB$ найдём $AD$:
   $AD^2 + BD^2 = AB^2 \quad \Rightarrow \quad AD^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad AD = 8$
   Площадь треугольника $ABC$:
   $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$
   Ответ: 40.
5. Найдите все функции \(f(x)\), каждая из которых для любого числа \(x\) удовлетворяет уравнению \[ f(2x - 1) = 4x^2 + 4. \]
   Решение: Введём замену переменной $t = 2x - 1$, тогда $x = \frac{t + 1}{2}$. Подставим в уравнение:
   $f(t) = 4\left(\frac{t + 1}{2}\right)^2 + 4 = 4 \cdot \frac{t^2 + 2t + 1}{4} + 4 = t^2 + 2t + 1 + 4 = t^2 + 2t + 5$
   Следовательно, искомая функция:
   $f(x) = x^2 + 2x + 5$
   Ответ: $f(x) = x^2 + 2x + 5$.