СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 22-23 апреля 2017 Вариант 2

1. Даны два сплава, состоящих каждый из золота, серебра и платины. Известно, что в первом сплаве золото составляет $60\%$, а во втором платина составляет $20\%$. Процентное содержание серебра одинаково в обоих сплавах. Если сплавить 150кг первого сплава и 210кг второго сплава, то в полученном новом сплаве будет $10\%$ серебра. Сколько килограммов платины содержит полученный сплав?
2. Найдите наименьшее натуральное $k$, такое, что $65!$ не кратно $k$.
3. В арифметической прогрессии, содержащей 60 членов, сумма членов с нечетными номерами равна 44, а сумма членов с четными номерами равна 54. Найдите сумму членов, номера которых кратны 4.
4. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов в три раза больше расстояния от середины гипотенузы до второго катета. Найдите площадь треугольника, если длина гипотенузы равна 2.
5. Дан квадратичный трёхчлен \[ f(x)=x^2-2017x+1. \] Найдите сумму действительных корней уравнения \[ f\bigl(f(x)\bigr)=0. \]

1. 87 кг
2. 67
3. 32
4. 0,6
5. 4034

Решения задач

1. Даны два сплава. В первом сплаве золото составляет $60\%$, серебро — $x\%$, оставшиеся $40\ x\%$ приходятся на платину. Во втором сплаве платина составляет $20\%$, серебро — $x\%$, оставшиеся $80\ x\%$ — золото. В новом сплаве серебра стало $10\%$. Найдём содержание серебра в исходных сплавах. Масса итогового сплава: $150 + 210 = 360$ кг. Серебро составляет $0,1 \cdot 360 = 36$ кг. Из уравнений: \[ 150 \cdot \frac{x}{100} + 210 \cdot \frac{x}{100} = 36 \implies 3,6x = 36 \implies x = 10\% \] Тогда в первом сплаве платина составляет $40\ 10% = 30\%$, её масса $150 \cdot 0,3 = 45$ кг. Во втором сплаве платина $210 \cdot 0,2 = 42$ кг. Суммарная масса платины: $45 + 42 = 87$ кг. Ответ: $\boxed{87}.$
   
   
2. Требуется найти наименьшее натуральное \( k \), на которое не делится \( 65! \). При разложении \( k \) на простые множители существует простое число \( p \), степень которого в \( k \) превышает его степень в \( 65! \). Наименьшее простое число, отсутствующее среди множителей \( 65! \), — это \( 67 \). Ответ: $\boxed{67}.$
   
   
3. Рассмотрим арифметическую прогрессию \( a_n \). Суммы членов с нечётными и чётными номерами: \[ S_{\text{неч}} = 44 = \frac{30}{2} \left(2a_1 + 58d\right), \quad S_{\text{чёт}} = 54 = \frac{30}{2} \left(2(a_1 + d) + 58d\right) \] Вычитая уравнения: \( 30a_1 + 900d - (30a_1 + 870d) = 10 \implies 30d = 10 \implies d = \frac{1}{3} \). Подставим \( d \): \( 30a_1 + 870 \cdot \frac{1}{3} = 44 \implies 30a_1 = -246 \implies a_1 = -8,2 \). Сумма членов, кратных 4 (шаг \( 4 \)): Первый член \( a_4 = a_1 + 3d = -7,2 \), разность подпрогрессии \( 4d = \frac{4}{3} \). Количество членов: 15. Сумма: \[ S = \frac{15}{2} \left[ 2 \cdot (-7,2) + 14 \cdot \frac{4}{3} \right] = \frac{15}{2} \left(-14,4 + 18,\overline{6}\right) = \frac{15}{2} \cdot 4,266... = 32 \] Ответ: $\boxed{32}.$
   
   
4. Пусть катеты прямоугольного треугольника \( x \) и \( y \), гипотенуза 2. Середина гипотенузы \( M(1;0) \). Расстояния до катетов: По условию \( |x/2| = 3|y/2| \) или \( |y/2| = 3|x/2| \). Если \( x = 3y \), то из теоремы Пифагора: \( x^2 + y^2 = 4 \implies 10y^2 = 4 \implies y = \sqrt{\frac{2}{5}} \), площадь \( \frac{1}{2}xy = \frac{3}{5} \). Аналогично при \( y = 3x \). Ответ: $\boxed{\dfrac{3}{5}}.$
   
   
5. Рассмотрим уравнение \( f(f(x)) = 0 \). Корни \( f(y) = 0 \): \( y_{1,2} = \dfrac{2017 \pm \sqrt{2017^2 - 4}}{2} \). Для каждого \( y_i \) решаем \( f(x) = y_i \), сумма корней каждой пары уравнений: \( S_1 = 2017 \), \( S_2 = 2017 \). Общая сумма \( 2017 \times 2 = 4034 \). Ответ: $\boxed{4034}.$