СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 клас 2017 год вариант 1

1. Даны два сплава, состоящих каждый из золота, серебра и платины. Известно, что в первом сплаве платина составляет 40%, а во втором золото составляет 26%. Процентное содержание серебра одинаково в обоих сплавах. Если сплавить 150кг первого сплава и 250кг второго сплава, то в полученном новом сплаве будет 30% серебра. Сколько килограммов золота содержит полученный сплав?
2. Найдите наименьшее натуральное \(N\), такое, что \(59!\) не кратно \(N\).
3. В арифметической прогрессии, содержащей 30 членов, сумма членов с нечётными номерами равна 22, а сумма членов с чётными номерами равна 27. Найдите сумму членов, номера которых кратны 3.
4. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов в два раза больше расстояния от середины гипотенузы до второго катета. Найти площадь треугольника, если длина гипотенузы равна 4.
5. Дан квадратный трёхчлен \(P(x)=x^2-1001x+1\). Найдите сумму действительных корней уравнения \(P(P(x))=0\).

1. 110 кг
2. 61
3. $\displaystyle \frac{59}{3}$
4. 3,2
5. 2002

Решения задач

1. В первом сплаве платина составляет 40%, серебро 30%, следовательно, золота 30%. Во втором сплава золото 26%, серебро 30%, платина 44%. Суммарная масса сплава: 150 + 250 = 400 кг. Серебра в сплаве 30%: \[ 0.3 \cdot 400 = 120 \ \text{кг} \] Тогда процент серебра в исходных сплавах: \[ \frac{120}{150 + 250} \cdot 100% = 30\% \] Содержание золота в новом сплаве: \[ 150 \cdot 0.3 + 250 \cdot 0.26 = 45 + 65 = 110 \ \text{кг} \] Ответ: $\boxed{110}$
   
   
2. Наименьшее натуральное число, не делящее $59!$, это первое простое число больше 59. Наименьшее такое число – 61 (простое). Проверяем: $61 > 59$, следовательно, не входит в разложение $59!$. Ответ: $\boxed{61}$
   
   
3. Сумма нечётных членов: $S_{\text{неч}} = 22$, сумма чётных: $S_{\text{чет}} = 27$. Разность сумм: \[ S_{\text{чет}} - S_{\text{неч}} = 27 - 22 = 5 = 15d \implies d = \frac{1}{3} \] Находим первый член прогрессии из суммы нечётных членов: \[ 15a_1 + 15 \cdot \frac{14 \cdot 2}{2} \cdot \frac{1}{3} = 22 \implies a_1 = -\frac{16}{5} \] Сумма членов с номерами кратными 3: \begin{align} a_1 + 2d &= -\frac{16}{5} + \frac{2}{3} = -\frac{38}{15} \\ a_1 + 29d &= -\frac{16}{5} + \frac{29}{3} = \frac{97}{15} \\ S &= \frac{10}{2} \left(-\frac{38}{15} + \frac{97}{15}\right) = 5 \cdot \frac{59}{15} = \frac{59}{3} \end{align} Ответ: $\boxed{\dfrac{59}{3}}$
   
   
4. Гпотенуза $AB = 4$, середина $M$. Пусть катеты $AC = b$, $BC = a$. Координаты $M\left(2, 0\right)$. Расстояние от $M$ до $AC$ делится как $2:1$: \[ \frac{a}{2} = 2 \cdot \frac{b}{2} \implies a = 2b \] По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 16 \implies 4b^2 + b^2 = 16 \implies b^2 = \frac{16}{5} \] Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 2b \cdot b = b^2 = \frac{16}{5} \] Ответ: $\boxed{\dfrac{16}{5}}$
   
   
5. Решаем $P(P(x)) = 0$. Пусть $y = P(x)$, тогда уравнение $y^2 - 1001y + 1 = 0$. Его корни: \[ y_{1,2} = \frac{1001 \pm \sqrt{1001^2 - 4}}{2} \] Для каждого $y_i$ уравнение $x^2 - 1001x + 1 = y_i$ имеет сумму корней по Виету $1001$. Общая сумма всех действительных корней: \[ 1001 + 1001 = 2002 \] Ответ: $\boxed{2002}$