СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2023 год вариант 1

1. Работник музея положил на весы 5 экспонатов сразу, и весы показали 120 г. Когда же он взвесил те же экспонаты по очереди, весы показали последовательно 26, 29, 28, 30 и 27 г. Сколько на самом деле весили все эти экспонаты вместе, если весы при каждом взвешивании ошибались на одно и то же число граммов в одну и ту же сторону?
2. Продавец яблок на рынке после обеда снизил цену на них на 20 %. В результате в этот день после обеда он продал яблок на 70 % больше, чем до обеда, и получил за них на 1440 руб. больше, чем до обеда. Какова была его выручка весь за этот день?
3. В трапеции \(ABCD\) с боковыми сторонами \(AB = 4\) и \(CD = 5\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\). Найдите площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \(30^\circ\).
4. Сумма удвоенного 1-го члена арифметической прогрессии с утроенным её 5-м членом больше суммы её 2-го, 3-го и 4-го членов на 12. Найдите её 4-й член.
5. Найдите все целые значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ x^2 + ax + a^2 + a - 2 = 0 \] имеет:
   1. два различных корня;
   2. два различных целых корня.

Решения задач

1. Работник музея положил на весы 5 экспонатов сразу, и весы показали 120 г. Когда же он взвесил те же экспонаты по очереди, весы показали последовательно 26, 29, 28, 30 и 27 г. Сколько на самом деле весили все эти экспонаты вместе, если весы при каждом взвешивании ошибались на одно и то же число граммов в одну и ту же сторону?
   Решение: Пусть ошибка весов составляет $\Delta$ граммов. Тогда:
   Сумма показаний при взвешивании всех экспонатов: $S + 5\Delta = 120$ г.
   Сумма показаний при взвешивании по отдельности: $(26 + 29 + 28 + 30 + 27) + 5\Delta = 140 + 5\Delta$ г.
   Поскольку реальный вес одинаков, приравняем:
   $120 - 5\Delta = 140 - 5\Delta$ — противоречие. Значит, ошибка при групповом взвешивании равна $\Delta$, а при индивидуальных — $\Delta$ на каждый экспонат:
   $S + \Delta = 120$ и $S + 5\Delta = 140$.
   Вычитая уравнения: $4\Delta = 20 \Rightarrow \Delta = 5$ г.
   Тогда реальный вес: $S = 120 - 5 = 115$ г.
   Проверка: $26 + 29 + 28 + 30 + 27 - 5 \cdot 5 = 140 - 25 = 115$ г.
   Ответ: 115 г.
   
   
2. Продавец яблок на рынке после обеда снизил цену на них на 20\%. В результате в этот день после обеда он продал яблок на 70% больше, чем до обеда, и получил за них на 1440 руб. больше, чем до обеда. Какова была его выручка весь за этот день?
   Решение: Пусть до обеда выручка $R = pq$, где $p$ — цена, $q$ — количество. После обеда:
   Новая цена: $0,8p$, новое количество: $1,7q$.
   Выручка после обеда: $0,8p \cdot 1,7q = 1,36pq$.
   Разница выручек: $1,36pq - pq = 0,36pq = 1440$ руб.
   Отсюда $pq = \frac{1440}{0,36} = 4000$ руб.
   Общая выручка: $pq + 1,36pq = 2,36 \cdot 4000 = 9440$ руб.
   Ответ: 9440 руб.
   
   
3. В трапеции \(ABCD\) с боковыми сторонами \(AB = 4\) и \(CD = 5\) основание \(AD\) вдвое больше основания \(BC\). Найдите площадь этой трапеции, если угол между прямыми \(AB\) и \(CD\) равен \(30^\circ\).
   Решение: Пусть $BC = x$, тогда $AD = 2x$. Площадь трапеции:
   $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3x}{2} \cdot h$.
   Высота $h$ может быть найдена через проекции боковых сторон:
   $AB \cdot \sin\alpha + CD \cdot \sin\beta = h$, где $\alpha + \beta = 30^\circ$.
   Используя соотношения проекций и углов, получаем:
   $h = \frac{AB \cdot CD \cdot \sin30^\circ}{AD - BC} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 0,5}{2x - x} = \frac{10}{x}$.
   Из уравнения площади: $S = \frac{3x}{2} \cdot \frac{10}{x} = 15$.
   Ответ: 15.
   
   
4. Сумма удвоенного 1-го члена арифметической прогрессии с утроенным её 5-м членом больше суммы её 2-го, 3-го и 4-го членов на 12. Найдите её 4-й член.
   Решение: Пусть первый член $a_1 = a$, разность $d$. Тогда:
   $2a_1 + 3a_5 = (a_2 + a_3 + a_4) + 12$.
   Подставляя $a_5 = a + 4d$, $a_2 = a + d$, $a_3 = a + 2d$, $a_4 = a + 3d$:
   $2a + 3(a + 4d) = (a + d + a + 2d + a + 3d) + 12$.
   Упрощая: $5a + 12d = 3a + 6d + 12 \Rightarrow 2a + 6d = 12 \Rightarrow a + 3d = 6$.
   Четвертый член: $a_4 = a + 3d = 6$.
   Ответ: 6.
   
   
5. Найдите все целые значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ x^2 + ax + a^2 + a - 2 = 0 \] имеет:
   1. два различных корня;
   2. два различных целых корня.
   
   Решение:
   1. Дискриминант: $D = a^2 - 4(a^2 + a - 2) = -3a^2 - 4a + 8 > 0$.
      Решаем неравенство: $3a^2 + 4a - 8 < 0$.
      Корни: $a = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{3}$. Целые решения: $a = -2, -1, 0, 1$.
      Ответ: $-2, -1, 0, 1$.
      
      
   2. Для целых корней используем теорему Виета:
      $x_1 + x_2 = -a$, $x_1x_2 = a^2 + a - 2$.
      Перебором находим подходящие $a$:
      $a = -2$: корни 0 и 2; $a = -1$: корни 2 и -1; $a = 1$: корни 0 и -1.
      Ответ: $-2, -1, 1$.