СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2021 год вариант 1

1. В канистру, содержащую 10%-й раствор соли, добавили 10л 40%-го раствора той же соли. Половину полученного раствора отлили в баллон и, добавив в него ещё 2 л воды, получили в баллоне 20%-й раствор соли. Сколько литров раствора было в канистре в самом начале?
2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AC = 5\) и \(BC = 12\) проведены медиана \(AM\) и биссектриса \(AL\). Найдите площадь треугольника \(ALM\).
3. В коробке, вмещающей не более 250 шариков, лежат шарики трёх цветов: жёлтые, синие и красные. Жёлтые шарики составляют ровно \(\tfrac{15}{28}\) от общего их числа, а синие — ровно \(\tfrac{4}{35}\). Сколько процентов от общего числа составляют красные шарики и каким может быть их количество?
4. Найдите множество всех значений функции \[ y = |x + 3| \;+\; |x + 1| \;+\; |x - 4| \;-\; 3\,|x|. \]
5. Найдите сумму всех натуральных чис, в десятичной записи которых сумма цифр равна 6 и которые не содержат цифр, отличных от 1 и 3.

Решения задач

1. В канистру, содержащую 10\%-й раствор соли, добавили 10 л 40\%-го раствора той же соли. Половину полученного раствора отлили в баллон и, добавив в него ещё 2 л воды, получили в баллоне 20\%-й раствор соли. Сколько литров раствора было в канистре в самом начале?
   Решение: Пусть начальный объём раствора в канистре — \(x\) л. Тогда масса соли в нём \(0,1x\) л. После добавления 10 л 40\%-го раствора масса соли стала \(0,1x + 4\) л, объём — \(x + 10\) л. Половину раствора (\(0,5(x + 10)\) л) отлили, в ней содержится \(0,5(0,1x + 4)\) л соли. После добавления 2 л воды объём стал \(0,5(x + 10) + 2\) л. Концентрация: \[ \frac{0,5(0,1x + 4)}{0,5(x + 10) + 2} = 0,2 \] Решая уравнение: \[ 0,5(0,1x + 4) = 0,2 \cdot (0,5x + 7) \quad \Rightarrow \quad x = 12 \] Ответ: 12 л.
2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AC = 5\) и \(BC = 12\) проведены медиана \(AM\) и биссектриса \(AL\). Найдите площадь треугольника \(ALM\).
   Решение: Координаты точек: \(C(0,0)\), \(A(0,5)\), \(B(12,0)\). Медиана \(AM\) соединяет \(A\) с серединой \(BC\) — \(M(6,0)\). Биссектриса \(AL\) делит \(BC\) в отношении \(AB:AC = 13:5\), координаты \(L\left(\frac{26}{3}, 0\right)\). Площадь треугольника \(ALM\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{26}{3} - 6 \right| \cdot 5 = \frac{20}{3} \] Ответ: \(\frac{20}{3}\).
3. В коробке, вмещающей не более 250 шариков, лежат шарики трёх цветов: жёлтые, синие и красные. Жёлтые шарики составляют ровно \(\tfrac{15}{28}\) от общего их числа, а синие — ровно \(\tfrac{4}{35}\). Сколько процентов от общего числа составляют красные шарики и каким может быть их количество?
   Решение: Общее число шариков \(N\) кратно 28 и 35. Наименьшее \(N = 140\). Жёлтых: \(\frac{15}{28} \cdot 140 = 75\), синих: \(\frac{4}{35} \cdot 140 = 16\). Красных: \(140 - 75 - 16 = 49\) (35\%).
   Ответ: 35\%, 49 шариков.
4. Найдите множество всех значений функции \[ y = |x + 3| \;+\; |x + 1| \;+\; |x - 4| \;-\; 3\,|x|. \]
   Решение: Рассмотрим функцию на интервалах:
   • \(x < -3\): \(y = 0\)
   • \(-3 \le x < -1\): \(y = 3x + 6\) (от \(-3\) до \(3\))
   • \(-1 \le x < 0\): \(y = 4x + 8\) (от \(4\) до \(8\))
   • \(0 \le x < 4\): \(y = -2x + 8\) (от \(0\) до \(8\))
   • \(x \ge 4\): \(y = 0\)
   Объединение значений: \([-3; 8]\).
   Ответ: \([-3; 8]\).
5. Найдите сумму всех натуральных чисел, в десятичной записи которых сумма цифр равна 6 и которые не содержат цифр, отличных от 1 и 3.
   Решение: Возможные числа:
   • 111111 (6 единиц)
   • Числа с тремя единицами и одной тройкой: 1113, 1131, 1311, 3111
   • 33 (две тройки)
   Сумма: \[ 111111 + 1113 + 1131 + 1311 + 3111 + 33 = 117810 \] Ответ: 117810.