СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 8

1. Овощи, содержащие первоначально 97% воды, через неделю хранения стали содержать 94% воды. Во сколько раз они уменьшили свой вес?
2. Решите уравнение \[ \lvert x^2 - x - 4\rvert = 2. \]
3. Найдите количество трёхзначных чисел, у каждого из которых сумма любых двух соседних цифр нечётна.
4. Расстояния от двух вершин одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины 5, равны 4 и 6 соответственно. Найдите площадь этой трапеции.
5. Сколько строк может быть в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 9 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты?

\begin{center} вариант 10-ХБ-8 \end{center} \begin{enumerate} \item в 2 раза \item $\{-2; -1; 2; 3\}$ \item $225$ \item $25$ \item 1, 3, 7, 9 \end{enumerate}

Решения задач

1. Овощи, содержащие первоначально 97% воды, через неделю хранения стали содержать 94% воды. Во сколько раз они уменьшили свой вес?
   Решение: Пусть изначальный вес овощей — 100 кг. Вода составляет 97\%, то есть 97 кг. Сухое вещество — 3 кг. После сушки вода составляет 94\%, значит сухое вещество — 6% от нового веса. Так как масса сухого вещества не менялась (3 кг), новый вес равен $\frac{3}{0,06} = 50$ кг. Значит, вес уменьшился в $\frac{100}{50} = 2$ раза.
   Ответ: 2.
2. Решите уравнение \[ \lvert x^2 - x - 4\rvert = 2. \] Решение: Рассмотрим два случая:
   1. $x^2 - x - 4 = 2$
      $x^2 - x - 6 = 0$
      $D = 1 + 24 = 25$
      $x = \frac{1 \pm 5}{2} = 3$; $-2$.
   2. $x^2 - x - 4 = -2$
      $x^2 - x - 2 = 0$
      $D = 1 + 8 = 9$
      $x = \frac{1 \pm 3}{2} = 2$; $-1$.
   Все корни уравнения: $x = -2$; $-1$; $2$; $3$.
   Ответ: $-2$; $-1$; $2$; $3$.
3. Найдите количество трёхзначных чисел, у каждого из которых сумма любых двух соседних цифр нечётна.
   Решение: Для выполнения условия цифры должны чередоваться по чётности. Возможны два случая:
   1. Первая цифра чётная (4 варианта: 2,4,6,8):
      Вторая цифра — нечётная (5 вариантов), третья — чётная (5 вариантов).
      Всего: $4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ чисел.
   2. Первая цифра нечётная (5 вариантов: 1,3,5,7,9):
      Вторая цифра — чётная (5 вариантов), третья — нечётная (5 вариантов).
      Всего: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ чисел.
   Всего трёхзначных чисел: $100 + 125 = 225$.
   Ответ: 225.
4. Расстояния от двух вершин одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины 5, равны 4 и 6 соответственно. Найдите площадь этой трапеции.
   Решение: Расстояния от вершин — это высоты к боковой стороне длиной 5, которые образуют прямоугольник и два треугольника. Средняя расстояние равно $\frac{4 + 6}{2} = 5$. Тогда площадь трапеции равна средней высоте, умноженной на длину боковой стороны: $5 \cdot 5 = 25$.
   Ответ: 25.
5. Сколько строк может быть в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 9 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты?
   Решение: Количество пересекаемых диагональю клеток вычисляется по формуле $m + n - \text{НОД}(m,n)$. По условию: $$ m + n - \text{НОД}(m,n) = 9. $$ Так как $\text{НОД}(m,n) = 1$, то $m + n = 10$. Пары взаимно простых чисел, удовлетворяющих условию: $(1,9)$; $(3,7)$; $(7,3)$; $(9,1)$. Таким образом, количество возможных значений числа строк — 4.
   Ответ: 4.