СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 7

1. Овощи, содержащие первоначально 98% воды, через неделю хранения стали содержать 94% воды. Во сколько раз они уменьшили свой вес?
2. Решите уравнение \[ 2 = \lvert x^2 + x - 4\rvert. \]
3. Найдите количество трёхзначных чисел, у каждого из которых сумма любых двух соседних цифр чётна.
4. Расстояния от двух вершин одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины 4, равны 5 и 7 соответственно. Найдите площадь этой трапеции.
5. Сколько столбцов может быть в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 9 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты?

1. в 3 раза
2. $\{-3; -2; 1; 2\}$
3. $225$
4. $24$
5. $1, 3, 7, 9$

Решения задач

1. Овощи, содержащие первоначально 98% воды, через неделю хранения стали содержать 94% воды. Во сколько раз они уменьшили свой вес?
   Решение:\ Предположим, что первоначальный вес овощей равен \( S \) кг. Тогда сухое вещество составляет \( 0,02S \) кг. После хранения новый вес овощей стал \( P \) кг, из которых сухое вещество — \( 0,06P \) кг. Так как масса сухого вещества не меняется: \[ 0,02S = 0,06P \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{P} = 3. \]
   Ответ: В 3 раза.
2. Решите уравнение \[ 2 = \lvert x^2 + x - 4\rvert. \]
   Решение:\ Рассмотрим два случая: \[ x^2 + x - 4 = 2 \quad \text{и} \quad x^2 + x - 4 = -2. \]
   • Первый случай: \[ x^2 + x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 1 + 24 = 25, \quad x = \frac{-1 \pm 5}{2}. \] Корни: \( x = 2 \), \( x = -3 \).
   • Второй случай: \[ x^2 + x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 1 + 8 = 9, \quad x = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Корни: \( x = 1 \), \( x = -2 \).
   
   Ответ: \(-3\); \(-2\); \(1\); \(2\).
3. Найдите количество трёхзначных чисел, у каждого из которых сумма любых двух соседних цифр чётна.
   Решение:\ Сумма двух цифр четна, если обе цифры одинаковой четности. Пусть первая цифра \( a \) (нечётная: 1,3,5,7,9 — 5 вариантов или чётная: 2,4,6,8 — 4 варианта). Вторая цифра \( b \) должна совпадать по чётности с \( a \). Третья цифра \( c \) должна совпадать по чётности с \( b \). Тогда:
   • Если \( a \) нечётное: \( a \) — 5 вариантов, \( b \) — 5 нечётных, \( c \) — 5 нечётных → \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \).
   • Если \( a \) чётное: \( a \) — 4 варианта, \( b \) — 5 чётных (0,2,4,6,8), \( c \) — 5 чётных → \( 4 \times 5 \times 5 = 100 \).
   Общее количество: \( 125 + 100 = 225 \).
   Ответ: 225.
4. Расстояния от двух вершин одной боковой стороны трапеции до прямой, содержащей другую её боковую сторону длины 4, равны 5 и 7 соответственно. Найдите площадь этой трапеции.
   Решение:\ Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Среднее расстояние от вершин до прямой составляет \(\frac{5 + 7}{2} = 6\), что равно высоте. Длина боковой стороны, до которой измеряются расстояния, равна 4. Тогда площадь: \[ S = \text{среднее расстояние} \times \text{длина боковой стороны} = 6 \times 4 = 24. \]
   Ответ: 24.
5. Сколько столбцов может быть в прямоугольной таблице, если её диагональ пересекает ровно 9 клеток, а числа строк и столбцов взаимно просты?
   Решение:\ Пусть таблица имеет \( m \) строк и \( n \) столбцов. Количество пересекаемых клеток диагональю равно \( m + n - \gcd(m, n) \). По условию: \[ m + n - 1 = 9 \quad \Rightarrow \quad m + n = 10. \] Пары взаимно простых чисел \((m, n)\): \((1,9)\), \((3,7)\), \((7,3)\), \((9,1)\). Возможные значения столбцов \( n \): 1, 3, 7, 9.
   Ответ: 1; 3; 7; 9.