СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 6

1. Имеется 40 мл раствора кислоты одной концентрации и 60 мл — другой концентрации. Если растворы смешать, то получится раствор, в котором концентрация кислоты составляет $35\%$. Найдите наименьшую концентрацию, которая может получиться, если смешать 10~мл первого и 10 мл второго раствора.
2. Решите уравнение \[ 2x = \lvert x - 3\rvert. \]
3. При каких целых $p$ и $q$ число $\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}$ служит корнем уравнения $x^2 + p x + q = 0$?
4. Основание $LM$ трапеции $KLMN$ в 4 раза меньше, чем $KN$. Прямая, проходящая через вершину $K$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $LN$?
5. Множество состоит из 6 различных целых чисел, 2 из которых лежат на отрезке $[0,5]$, ещё 2 — на отрезке $[6,11]$, а оставшиеся 2 — на отрезке $[12,17]$. Какие значения может принимать сумма всех 6 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 6?

1. $\displaystyle \frac{7}{24}$
2. $x = 1$
3. $p = 2,\ q = -6$
4. $\displaystyle \frac{17}{20}$
5. $51$

Решения задач

1. Имеется 40 мл раствора кислоты одной концентрации и 60 мл — другой концентрации. Если растворы смешать, то получится раствор, в котором концентрация кислоты составляет $35\%$. Найдите наименьшую концентрацию, которая может получиться, если смешать 10 мл первого и 10 мл второго раствора.
   Решение: Пусть концентрации растворов равны \(x\%\) и \(y\%\). При смешивании исходных объемов получим: \[ 40x + 60y = 35 \cdot 100 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3y = 175. \] Для смеси из 10~мл каждого раствора концентрация составит \(\frac{10x + 10y}{20} = \frac{x + y}{2}\%\). Чтобы минимизировать это выражение при условии \(2x +3y=175\), выразим \(x = \frac{175 -3y}{2}\): \[ x + y = \frac{175 - y}{2}. \] Минимум достигается при максимальном \(y\), ограниченном условием \(x \geq 0\). При \(y = \frac{175}{3} \approx 58,\!33\%\) получаем \(x = 0\). Тогда \(\frac{x + y}{2} = \frac{175}{6} \approx 29,\!17\%\).
   Ответ: \(29\frac{1}{6}\%\) или \(29,17\%\).
   
   
2. Решите уравнение \[ 2x = \lvert x - 3\rvert. \]
   Решение: Раскроем модуль: \[ \begin{cases} x \geq 3: & 2x = x - 3 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \quad (\text{не подходит}). \\ x < 3: & 2x = 3 - x \quad \Rightarrow \quad 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \end{cases} \]
   Ответ: 1.
   
   
3. При каких целых \(p\) и \(q\) число \(\sqrt{8 - 2\sqrt{7}}\) служит корнем уравнения \(x^2 + p x + q = 0\)?
   Решение: Упростим выражение: \[ \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = \sqrt{ (\sqrt{7} -1)^2 } = \sqrt{7} -1. \] Подставим \(\sqrt{7} -1\) в уравнение: \[ (\sqrt{7} -1)^2 + p(\sqrt{7} -1) + q = 0 \quad \Rightarrow \quad 8 - 2\sqrt{7} + p\sqrt{7} - p + q = 0. \] Сгруппируем слагаемые: \[ (p -2)\sqrt{7} + (8 - p + q) = 0. \] Чтобы выражение равнялось нулю при любом \(\sqrt{7}\), коэффициенты должны быть нулевыми: \[ \begin{cases} p -2 = 0, \\ 8 - p + q = 0. \end{cases} \quad \Rightarrow \quad p = 2, \quad q = -6. \]
   Ответ: \(p = 2\), \(q = -6\).
   
   
4. Основание \(LM\) трапеции \(KLMN\) в 4 раза меньше, чем \(KN\). Прямая, проходящая через вершину \(K\), делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ \(LN\)?
   Решение: Пусть \(LM = a\), \(KN = 4a\), высота трапеции \(h\). Площадь трапеции \(S = \frac{(a +4a)}{2} h = \frac{5a}{2}h\). Прямая, проходящая через \(K\), делит площадь пополам. Используя свойства площадей трапеции и подобных треугольников, находим, что точка пересечения делит диагональ \(LN\) в отношении \(LO:ON = 3:1\).
   Ответ: \(3:1\).
   
   
5. Множество состоит из 6 различных целых чисел, 2 из которых лежат на отрезке \([0,5]\), ещё 2 — на отрезке \([6,11]\), а остальные 2 — на отрезке \([12,17]\). Какие значения может принимать сумма всех 6 чисел, если разность никаких двух из них не кратна 6?
   Решение: Все остатки чисел по модулю 6 должны быть различны. Сумма остатков всех чисел равна \(0+1+2+3+4+5=15\), поэтому сумма всех чисел сравнима с \(3 \mod 6\). В заданном диапазоне допустимые суммы: \(51\) (\(3\mod6\)), \(57\) (\(3\mod6\)), \(63\) (\(3\mod6\)). Пример суммы \(51\): \([0,5]\), \([7,10]\), \([14,15]\).
   Ответ: \(51\), \(57\), \(63\).