СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 5

1. Имеется 30 мл раствора кислоты одной концентрации и 20 мл — другой концентрации. Если растворы смешать, то получится раствор, в котором концентрация кислоты составляет R35\%$. Найдите наибольшую концентрацию, которая при данных условиях может получиться, если смешать 10 мл первого и 10 мл второго раствора.
2. Решить уравнение \[ 2x = \lvert x + 3\rvert. \]
3. При каких целых $p$ и $q$ число $\sqrt{12 + 2\sqrt{11}}$ служит корнем уравнения $x^2 + p x + q = 0$?
4. Основание $AD$ трапеции $ABCD$ в 3 раза больше, чем $BC$. Прямая, проходящая через вершину $A$, делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ $BD$?
5. Множество состоит из 6 различных целых чисел, 2 из которых лежат на отрезке $[1,6]$, еще 2 — на отрезке $[7,12]$, а остальные 2 — на отрезке $[13,18]$. Какие значения может принимать сумма всех 6 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 6?

1. $\displaystyle \frac{7}{16}$
2. $x = 3$
3. $p = -2,\ q = -10$
4. $\displaystyle \frac{5}{6}$
5. $57$

Решения задач

1. Имеется 30 мл раствора кислоты одной концентрации и 20 мл – другой концентрации. Если растворы смешать, то получится раствор, в котором концентрация кислоты составляет $35\%$. Найдите наибольшую концентрацию, которая при данных условиях может получиться, если смешать 10 мл первого и 10 мл второго раствора.
   Решение: Пусть концентрации растворов равны \( C_1 \) и \( C_2 \). Из условия смешивания: \[ \frac{30C_1 + 20C_2}{50} = 0.35 \Rightarrow 30C_1 + 20C_2 = 17.5. \] Для смеси 10~мл каждого раствора концентрация: \[ \frac{10C_1 + 10C_2}{20} = \frac{C_1 + C_2}{2}. \] Максимизируем \( C_1 + C_2 \). Решая систему, находим максимальную сумму \( C_1 + C_2 = 0.875 \), откуда концентрация: \[ \frac{0.875}{2} = 0.4375 \Rightarrow 43,75\%. \] Ответ: $43,75\%$.
   
   
2. Решить уравнение \[ 2x = \lvert x + 3\rvert. \]
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \): \[ 2x = x + 3 \Rightarrow x = 3. \]
   2. \( x + 3 < 0 \Rightarrow x < -3 \): \[ 2x = -x - 3 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 \text{ (не подходит по условию)}. \]
   Ответ: \( 3 \).
   
   
3. При каких целых \( p \) и \( q \) число \( \sqrt{12 + 2\sqrt{11}} \) служит корнем уравнения \( x^2 + p x + q = 0 \)?
   Решение: Представим \( \sqrt{12 + 2\sqrt{11}} \) как \( \sqrt{1} + \sqrt{11} \). Тогда многочлен: \[ (x - (1 + \sqrt{11}))(x - (1 - \sqrt{11})) = x^2 - 2x - 10. \] Ответ: \( p = -2 \), \( q = -10 \).
   
   
4. Основание \( AD \) трапеции \( ABCD \) в 3 раза больше, чем \( BC \). Прямая, проходящая через вершину \( A \), делит площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит диагональ \( BD \)?
   Решение: Пусть \( AD = 3a \), \( BC = a \). Используя координаты и параметризацию диагонали \( BD \), находим, что точка пересечения делит \( BD \) в отношении \( 2:1 \). Ответ: \( 2:1 \).
   
   
5. Множество состоит из 6 различных целых чисел, 2 из которых лежат на отрезке \( [1,6] \), еще 2 – на отрезке \( [7,12] \), а остальные 2 – на отрезке \( [13,18] \). Какие значения может принимать сумма всех 6 чисел, если дополнительно известно, что разность никаких двух из них не кратна 6?
   Решение: Каждое число имеет уникальный остаток от 0 до 5 по модулю 6. Сумма остатков равна 15 (\( \equiv 3 \mod 6 \)). Минимальная сумма: \( 1+2+7+8+13+14 = 45 \). Максимальная сумма: \( 5+6+11+12+17+18 = 69 \). Возможные суммы: \( 45, 51, 57, 63, 69 \). Ответ: 45, 51, 57, 63, 69.