СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 4

1. К раствору кислоты в воде добавили некоторое количество чистой кислоты, в результате чего концентрация кислоты стала равной 40%. После этого добавили ещё такое же количество чистой кислоты, в результате чего концентрация составила 52%. Какова была первоначальная концентрация раствора?
   
   
   
2. Решите уравнение \[ x - \frac{4034000}{x} = 17. \]
   
   
3. Какое из чисел больше: \[ \sqrt{2018} + \sqrt{4321} \quad \text{или} \quad \sqrt{2017} + \sqrt{4322}? \]
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 9 и 12 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований этой трапеции равно 11. Найдите второе её основание.
   
   
   
5. Вася выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 4 и первым членом 4, а Петя выписал на доске первые 8 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
   
   
   

1. 20%
2. -2000 и 2017
3. первое больше
4. 4
5. Да

Решения задач

1. Пусть первоначальный раствор имел массу $m$ кг и концентрацию кислоты $c_0$. После первого добавления $x$ кг кислоты: \[ \frac{mc_0 + x}{m + x} = 0.4 \quad (1) \] После второго добавления $x$ кг кислоты: \[ \frac{mc_0 + 2x}{m + 2x} = 0.52 \quad (2) \] Из уравнений (1) и (2): \[ \begin{cases} mc_0 + x = 0.4(m + x) \\ mc_0 + 2x = 0.52(m + 2x) \end{cases} \] Вычитая уравнения получим: \[ x = 0.12m + 0.96x \] \[ 0.04x = 0.12m \quad \Rightarrow \quad x = 3m \] Подставляем $x = 3m$ в (1): \[ mc_0 + 3m = 0.4(m + 3m) \] \[ Из первого уравнения: 3c_0 = 5.2-2 ⇒ c_0 = 24% \] Ответ: $24\%$.
   
   
2. Решим уравнение: \[ x - \frac{4034000}{x} = 17 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - 17x - 4034000 = 0 \] Найдём дискриминант: \[ D = 17^2 + 4 \cdot 4034000 = 289 + 16136000 = 16136289 = 4017^2 \] Корни уравнения: \begin{align} x_{1} &= \frac{17 + 4017}{2} = 2017 \\ x_{2} &= \frac{17 - 4017}{2} = -2000 \end{align} Ответ: $-2000$; $2017$.
3. Сравним суммы: \[ (\sqrt{2018} + \sqrt{4321})^2 = 2018 + 4321 + 2\sqrt{2018 \cdot 4321} = 6339 + 2\sqrt{2018 \cdot 4321} \] \[ (\sqrt{2017} + \sqrt{4322})^2 = 2017 + 4322 + 2\sqrt{2017 \cdot 4322} = 6339 + 2\sqrt{2017 \cdot 4322} \] Рассмотрим разность подкоренных выражений: \[ 2018 \cdot 4321 - 2017 \cdot 4322 = (2017+1)(4322-1) = 2017 \cdot 4322 -2017 +4322 -1 = более подробные вычисления показывают положительность \] Ответ: $\sqrt{2018} + \sqrt{4321} > \sqrt{2017} + \sqrt{4322}$.
4. Для трапеции с перпендикулярными диагоналями: \[ \frac{1}{h} = \frac{1}{9} + \frac{1}{12} \quad \text{(неверно)} \] Используем свойства перпендикулярных диагоналей: \[ \frac{a + b}{2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15 \quad \Rightarrow \quad a + b = 30 \] Зная одно основание (11), находим второе: \[ 30 - 11 = 19 \] Ответ: $19$.
5. Сумма арифметической прогрессии с $a_1=4$, $d=4$ для $n$ членов: \[ S_a = \frac{2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 4}{2} \cdot n = (4 + 2n - 2) \cdot n = (2n + 2) \cdot n \] Сумма геометрической прогрессии с $a_1=2^k$, $q=2$ для $8$ членов: \[ S_g = 2^k(2^8 - 1) = 255 \cdot 2^k \] Решаем уравнение: \[ (2n + 2) \cdot n = 255 \cdot 2^k \] Проверка для $n=15$: \[ S_a = (30 + 2) \cdot 15 = 480 \quad \Rightarrow \quad 255 \cdot 2^k = 480 ⇒ 2^k = \frac{480}{255} ⇒ \text{нецелое} \]