СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2018 год вариант 3

1. К раствору кислоты в воде добавили некоторое количество дистиллированной воды, в результате чего концентрация кислоты стала равной 72\%. После этого добавили еще такое же количество дистиллированной воды, после чего концентрация составила 60\%. Какова была первоначальная концентрация раствора?
   
   
   
2. Решите уравнение \[ x - \frac{4036000}{x} = 18. \]
   
   
3. Какое из чисел больше: \[ \sqrt{2018} + \sqrt{1234} \quad \text{или} \quad \sqrt{2017} + \sqrt{1235}? \]
   
   
4. Диагонали трапеции, равные 12 и 16 соответственно, пересекаются под прямым углом, а одно из оснований этой трапеции равно 13. Найдите второе её основание.
   
   
   
5. Петя выписал на доске первые несколько членов арифметической прогрессии с разностью 2 и первым членом 2, а Вася выписал на доске первые 7 членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом, равным степени двойки с целым показателем. Могут ли суммы этих прогрессий оказаться одинаковыми?
   Ответ: \underline{\hspace{5cm}}

1. 90%
2. -2000 и 2018
3. второе больше
4. 7
5. Да

Решения задач

1. Пусть первоначальная концентрация раствора равна \( C \), масса раствора \( m \), масса кислоты \( C \cdot m \). После добавления \( x \) воды концентрация стала 72\%: \[ \frac{C \cdot m}{m + x} = 0,72 \quad \Rightarrow \quad C = 0,72 \cdot \left(1 + \frac{x}{m}\right). \] После второго добавления воды: \[ \frac{C \cdot m}{m + 2x} = 0,6 \quad \Rightarrow \quad C = 0,6 \cdot \left(1 + \frac{2x}{m}\right). \] Приравниваем выражения для \( C \): \[ 0,72 \cdot \left(1 + \frac{x}{m}\right) = 0,6 \cdot \left(1 + \frac{2x}{m}\right). \] Обозначим \( \frac{x}{m} = k \): \[ 0,72(1 + k) = 0,6(1 + 2k) \quad \Rightarrow \quad 0,12 = 0,12k \quad \Rightarrow \quad k = 1. \] Подставляем обратно: \[ C = 0,72 \cdot (1 + 1) = 1,44 \quad \text{(неверно, ошибка!)}. \] Внимательная подстановка показывает ошибку. Решая систему уравнений для \( C \), получаем: \[ 0,72(m + x) = Cm \quad \text{и} \quad 0,6(m + 2x) = Cm. \] Вычитаем уравнения: \[ 0,72(m + x) - 0,6(m + 2x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 0,12m - 0,48x = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 4x. \] Подставляем \( m = 4x \) в первое уравнение: \[ 0,72(4x + x) = C \cdot 4x \quad \Rightarrow \quad C = 0,72 \cdot \frac{5}{4} = 0,9 \quad (90\%). \] Ответ: 90%.
2. Решим уравнение \( x - \frac{4\,036\,000}{x} = 18 \): \[ x^2 - 18x - 4\,036\,000 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 18^2 + 4 \cdot 4\,036\,000 = 16\,144\,324 = 4\,018^2. \] Корни: \[ x = \frac{18 \pm 4\,018}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2\,018, \quad x_2 = -2\,000. \] Ответ: \( \boxed{2018} \) и \( \boxed{-2000} \).
3. Сравним \( \sqrt{2018} + \sqrt{1234} \) и \( \sqrt{2017} + \sqrt{1235} \). Возведём обе суммы в квадрат: \[ ( \sqrt{2018} + \sqrt{1234} )^2 = 2018 + 1234 + 2\sqrt{2018 \cdot 1234}, \] \[ ( \sqrt{2017} + \sqrt{1235} )^2 = 2017 + 1235 + 2\sqrt{2017 \cdot 1235}. \] Сравним подкоренные выражения: \[ 2018 \cdot 1234 = (2017 + 1)(1235 - 1) = 2017 \cdot 1235 - 2017 + 1235 - 1 = 2017 \cdot 1235 + 17, \] \[ 2017 \cdot 1235 < 2018 \cdot 1234 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2018} + \sqrt{1234} < \sqrt{2017} + \sqrt{1235}. \] Ответ: \( \boxed{\sqrt{2017} + \sqrt{1235}} \).
4. Пусть основания трапеции равны \( AD = 13 \) и \( BC = x \). Диагонали \( AC = 16 \), \( BD = 12 \) пересекаются под прямым углом. Используем формулу площади через диагонали: \[ S = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96. \] Также площадь трапеции: \[ S = \frac{(AD + BC)}{2} \cdot h \quad \Rightarrow \quad \frac{13 + x}{2} \cdot h = 96 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{192}{13 + x}. \] Диагонали пересекаются под прямым углом, поэтому: \[ h = \frac{AC \cdot BD}{AD + BC} = \frac{192}{13 + x}. \] Составим уравнение через отрезки диагоналей: \[ \left(\frac{13 \cdot 16}{13 + x}\right)^2 + \left(\frac{13 \cdot 12}{13 + x}\right)^2 = 13^2, \] решая которое, получаем \( BC = \frac{82}{25} \). Но более точный метод приводит к квадратному уравнению: \[ 25x^2 + 4\,394x - 14\,703 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{82}{25} = 3,28. \] Ответ: \boxed{\dfrac{82}{25}}.
5. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии Пети: \[ S_a = \frac{2 \cdot 2 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = n(n + 1). \] Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии Васи: \[ S_g = 2^k \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1} = 2^k \cdot 127. \] Решаем уравнение: \[ n(n + 1) = 127 \cdot 2^k. \] При \( n = 127 \), \( 127 \cdot 128 = 127 \cdot 2^7 \quad \Rightarrow \quad k = 7 \). Ответ:Да.