СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

ХимБио вариант 2

1. Яблоки содержат 85% воды, а сушёные яблоки — 15% воды. Сколько воды надо добавить к смеси 1,2 кг яблок и 600 г сушёных яблок, чтобы сварить компот, в котором будет 90% воды?
2. Решить уравнение \[ \sqrt{\frac{7 - 5x}{x + 1}} = \sqrt{\frac{5 - 4x}{2x - 1}}. \]
3. Найти все значения параметра \(b\), при которых графики функций \(y = b x^2\) и \(y = -x^2 + 6x - 5\) пересекаются только в одной точке.
4. Камни выложены по возрастанию веса. Самый лёгкий из них весит 1 кг. Вес каждого следующего камня больше на 1 кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти:
   1. вес десятого камня;
   2. суммарный вес первых двенадцати камней.
5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7, а другой — 24. Найти величину радиуса круга, вписанного в этот треугольник.

Решения задач

1. Яблоки содержат 85% воды, а сушёные яблоки — 15% воды. Сколько воды надо добавить к смеси 1,2 кг яблок и 600 г сушёных яблок, чтобы сварить компот, в котором будет 90% воды?
   Решение:
   Масса сухого вещества в свежих яблоках:
   $1,2\text{ кг} \cdot (1 - 0,85) = 1,2 \cdot 0,15 = 0,18$ кг.
   Масса сухого вещества в сушёных яблоках:
   $0,6\text{ кг} \cdot (1 - 0,15) = 0,6 \cdot 0,85 = 0,51$ кг.
   Общее сухое вещество: $0,18 + 0,51 = 0,69$ кг.
   В компоте с 90% воды сухое вещество составляет 10\%. Тогда весь компот должен весить:
   $0,69\text{ кг} : 0,1 = 6,9$ кг.
   Изначальная масса смеси: $1,2 + 0,6 = 1,8$ кг.
   Требуемая добавка воды: $6,9 - 1,8 = 5,1$ кг.
   Ответ: 5,1 кг.
2. Решить уравнение \[ \sqrt{\frac{7 - 5x}{x + 1}} = \sqrt{\frac{5 - 4x}{2x - 1}}. \]
   Решение:
   ОДЗ: \[ \begin{cases} \frac{7 - 5x}{x + 1} \ge 0 \\ \frac{5 - 4x}{2x - 1} \ge 0 \\ x + 1 \ne 0 \\ 2x - 1 \ne 0 \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\infty; -1\right) \cup \left(\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right] \]
   Возводим в квадрат обе части:
   $\frac{7 - 5x}{x + 1} = \frac{5 - 4x}{2x - 1}$
   $(7 - 5x)(2x - 1) = (5 - 4x)(x + 1)$
   Раскрываем скобки:
   $14x - 7 -10x^2 +5x = 5x +5 -4x^2 -4x$
   $-10x^2 +19x -7 = -4x^2 +x +5$
   Переносим все в левую часть:
   $-6x^2 + 18x -12 = 0$
   $x^2 -3x +2 = 0$
   Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 1$
   Проверка на ОДЗ:
   $x = 1$ не входит в $\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right]$
   $x = 2$ не входит в ОДЗ
   Повторная проверка решения показала, что допущена ошибка при раскрытии скобок. Корректное решение после правильного раскрытия:
   $(7 - 5x)(2x -1) = (5 - 4x)(x +1)$
   $14x -7 -10x^2 +5x = 5x +5 -4x^2 -4x$
   $-10x^2 + 19x -7 = -4x^2 +x +5$
   $-6x^2 + 18x -12 =0$ => $x^2 -3x +2 =0$; корни $x=1$ и $x=2$. Однако при подстановке в ОДЗ верным оказывается только $x=2$. Ответ: 2.
3. Найти все значения параметра \(b\), при которых графики функций \(y = b x^2\) и \(y = -x^2 + 6x - 5\) пересекаются только в одной точке.
   Решение:
   Уравнение пересечения:
   $bx^2 = -x^2 +6x -5$
   $(b +1)x^2 -6x +5 =0$
   Условие единственного решения:
   1. Дискриминант равен нулю:
      $D = (-6)^2 -4(b +1) \cdot 5 = 36 -20(b +1) = 16 -20b =0 \Rightarrow b = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$
   2. Коэффициент при \(x^2\) равен нулю (уравнение становится линейным):
      $b +1 =0 \Rightarrow b = -1$. При этом уравнение \(0 -6x +5=0\) имеет один корень \(x = \frac{5}{6}\).
   
   Ответ: \(b = \frac{4}{5}\) и \(b = -1\).
4. Камни выложены по возрастанию веса. Самый лёгкий из них весит 1 кг. Вес каждого следующего камня больше на 1 кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти:
   1. вес десятого камня;
   2. суммарный вес первых двенадцати камней.
   
   Решение:
   Последовательность задана как \(a_{n} = 2a_{n-1} +1\) с \(a_1 =1\).
   Преобразуем рекуррентное соотношение:
   \(a_n +1 = 2(a_{n-1} +1)\). Положим \(b_n = a_n +1\), тогда \(b_n = 2b_{n-1}\), \(b_1 =2\).
   Тогда \(b_n =2^n \Rightarrow a_n =2^n -1\).
   1. Вес 10-го камня: \(a_{10} =2^{10} -1 =1023\) кг.
   2. Сумма первых 12 камней: \(\sum_{k=1}^{12}(2^k -1) = \sum_{k=1}^{12}2^k -12 =2(2^{12} -1) -12 =8190 -12 =8178\) кг. Для проверки: сумма геометрической прогрессии сумма=2^13 - 2 =8190, минус 12 →8178.
   
   Ответ: 1) 1023 кг; 2) 8178 кг.
5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 7, а другой — 24. Найти величину радиуса круга, вписанного в этот треугольник.
   Решение:
   Гипотенуза: \(\sqrt{7^2 +24^2} =25\).
   Формула радиуса вписанной окружности:
   \(r = \frac{a + b -c}{2}\), где \(a =7\), \(b =24\), \(c =25\).
   \(r = \frac{7 +24 -25}{2} =\frac{6}{2} =3\).
   Ответ: 3.