СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2015 год

ХимБио вариант 1

1. Абрикосы содержат 90% воды, а курага (сушеные абрикосы) — 12% воды. Сколько воды надо добавить к смеси 2 кг абрикосов и 500 г кураги, чтобы сварить компот, в котором будет 95% воды?
2. Решить уравнение \[ \sqrt{\frac{x - 7}{3 - 2x}} = \sqrt{\frac{2x - 5}{x + 1}}. \]
3. Найти все значения \(a\), при которых графики функций \(y = a x^2\) и \(y = -x^2 + 4x - 3\) пересекаются только в одной точке.
4. Камни выложены по возрастанию веса. Самый легкий из них весит 2 кг. Вес каждого следующего камня больше на 2 кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти:
   1. вес девятого камня;
   2. суммарный вес первых двенадцати камней.
5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 21, а гипотенуза равна 29. Найти величину радиуса круга, вписанного в этот треугольник.

Решения задач

1. Абрикосы содержат 90% воды, а курага (сушеные абрикосы) — 12% воды. Сколько воды надо добавить к смеси 2 кг абрикосов и 500 г кураги, чтобы сварить компот, в котором будет 95% воды?
   Решение: Найдем массу сухого вещества в смеси. В абрикосах: $2 \cdot 0,1 = 0,2$ кг. В кураге: $0,5 \cdot 0,88 = 0,44$ кг. Всего сухого вещества: $0,2 + 0,44 = 0,64$ кг. Масса компота после добавления $m$ кг воды: $(2 + 0,5 + m) = 2,5 + m$ кг. Сухое вещество составит 5% от общей массы: $0,64 = 0,05 \cdot (2,5 + m)$
   Отсюда $2,5 + m = 12,8$, поэтому $m = 12,8 - 2,5 = 10,3$ кг.
   Ответ: 10,3 кг.
   
   
2. Решить уравнение \[ \sqrt{\frac{x - 7}{3 - 2x}} = \sqrt{\frac{2x - 5}{x + 1}}. \]
   Решение: Область допустимых значений: $x \neq 1,5$, $x \neq -1$, $\frac{x-7}{3-2x} \ge 0$, $\frac{2x-5}{x+1} \ge 0$.
   Возводим обе части в квадрат: $\frac{x - 7}{3 - 2x} = \frac{2x - 5}{x + 1}$
   $(x - 7)(x + 1) = (2x - 5)(3 - 2x)$
   $x^2 - 6x - 7 = (2x - 5)(3 - 2x) = -4x^2 + 16x - 15$
   Переносим все слагаемые влево: $5x^2 - 22x + 8 = 0$
   Дискриминант $D = 484 - 160 = 324 = 18^2$
   Корни: $x = \frac{22 \pm 18}{10} ⇒ x = 4$ или $x = 0,4$
   Проверка ОДЗ: $x = 4$ удовлетворяет область (проверкой подстановкой), $x = 0,4$ не принадлежит области определения.
   Ответ: 4.
   
   
3. Найти все значения \(a\), при которых графики функций \(y = a x^2\) и \(y = -x^2 + 4x - 3\) пересекаются только в одной точке.
   Решение: Приравняем уравнения: $a x^2 = -x^2 + 4x - 3 ⇒ (a + 1)x^2 - 4x + 3 = 0$
   Условие единственного решения:
   1. Дискриминант равен нулю: $D = 16 - 12(a + 1) = 0 ⇒ 16 - 12a - 12 = 0 ⇒ a = \frac{1}{3}$
   2. Вырожденность квадратичности: $a + 1 = 0 ⇒ a = -1$ (уравнение становится линейным $-4x + 3 = 0$)
   Ответ: $a = -1$ или $a = \frac{1}{3}$.
   
   
4. Камни выложены по возрастанию веса. Самый легкий из них весит 2 кг. Вес каждого следующего камня больше на 2 кг, чем удвоенный вес предыдущего камня. Найти:
   1. вес девятого камня;
   
   Решение: Рекуррентная формула: $a_n = 2a_{n-1} + 2$. Составляем последовательность:
   $a_1 = 2$
   $a_2 = 2 \cdot 2 + 2 = 6$
   $a_3 = 2 \cdot 6 + 2 = 14$
   ... продолжая вычисления до $a_9 = 1022$ кг. Альтернативно, используя формулу $a_n = 2^{n + 1} - 2$:
   $a_9 = 2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$ кг.
   Ответ: 1022 кг.
   
   
   1. суммарный вес первых двенадцати камней.
   
   Решение: Сумма ряда $a_n = 2^{n + 1} - 2$ для $n$ от 1 до 12:
   $\sum_{k=1}^{12} a_k = \sum_{k=1}^{12} (2^{k + 1} - 2) = \sum_{k=1}^{12} 2^{k + 1} - 2 \cdot 12 = (2^{14} - 4) - 24 = 16384 - 28 = 16356$ кг.
   Ответ: 16356 кг.
   
   
5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 21, а гипотенуза равна 29. Найти величину радиуса круга, вписанного в этот треугольник.
   Решение: Найдем второй катет по теореме Пифагора: $b = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20$.
   Периметр треугольника: $P = 20 + 21 + 29 = 70$. Полупериметр: $p = 35$.
   Площадь треугольника: $S = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
   Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{210}{35} = 6$.
   Ответ: 6.