СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Март 2014 год

ХимБио вариант 2

1. На одних листах бумаги был нарисован только Кощей Бессмертный, на других — только Баба Яга, на третьих — Кощей и Баба Яга вместе. Среди этих рисунков изображение Кощей можно увидеть на 65% листов бумаги, а на 15% листов они были нарисованы вместе. Баба Яга была изображена на 80 рисунках. Сколько всего было рисунков?
2. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству \[ 3\bigl|{-x}\bigr| + \lvert y\rvert \le 1. \]
3. Сумма первого, пятого и шестого членов арифметической прогрессии на 21 больше суммы третьего, седьмого и девятого членов. Определите, на сколько сумма первых пяти членов этой прогрессии больше суммы членов с шестого по десятый включительно.
4. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ диагонали пересекаются в точке $P$, причём $PM = PN$. Найдите угол между прямой $MN$ и биссектрисой угла $\angle LKM$, если известен угол $\angle KLP = 66^\circ$.
5. Пусть $t_1, t_2$ — корни квадратного уравнения \[ t^2 - t - 4 = 0. \] Известно, что \[ t_1^3 + 5\,t_2 \] является целым числом. Найдите это число.

Решения задач

1. На одних листах бумаги был нарисован только Кощей Бессмертный, на других — только Баба Яга, на третьих — Кощей и Баба Яга вместе. Среди этих рисунков изображение Кощея можно увидеть на 65% листов бумаги, а на 15% листов они были нарисованы вместе. Баба Яга была изображена на 80 рисунках. Сколько всего было рисунков?
   Решение: Пусть общее количество рисунков равно $N$.
   Изображения Кощея присутствуют на $65\%$ листов, из них $15\%$ содержат также Бабу Ягу. Значит, только Кощей нарисован на $65\ 15% = 50\%$ листов.
   Баба Яга изображена на $k% + 15\%$, что равно $80$ рисункам. Сумма всех видов рисунков: $50\%$ (Кощей) + $k\%$ (Баба Яга) + $15\%$ (вместе) = $100\%$.
   Отсюда $k% = 35\%$. Всего Баба Яга изображена на $35% + 15% = 50\%$ рисунков:
   $N \cdot 50% = 80 \Rightarrow N \cdot 0,5 = 80 \Rightarrow N = 160$.
   Ответ: 160.
   
   
2. Найдите площадь фигуры, расположенной на координатной плоскости и состоящей из точек $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству \[ 3\bigl|{-x}\bigr| + \lvert y\rvert \le 1. \]
   Решение: Неравенство можно переписать в виде $3|x| + |y| \le 1$. Фигура представляет собой ромб с вершинами в точках $(\pm\frac{1}{3}, 0)$ и $(0, \pm1)$.
   Диагонали ромба: $d_1 = \frac{2}{3}$ (горизонтальная) и $d_2 = 2$ (вертикальная).
   Площадь ромба вычисляется по формуле:
   $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 2}{2} = \frac{2}{3}$.
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
   
   
3. Сумма первого, пятого и шестого членов арифметической прогрессии на 21 больше суммы третьего, седьмого и девятого членов. Определите, на сколько сумма первых пяти членов этой прогрессии больше суммы членов с шестого по десятый включительно.
   Решение: Пусть $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии. Запишем:
   $(a_1 + a_5 + a_6) - (a_3 + a_7 + a_9) = 21$
   Подставляя $a_n = a_1 + (n-1)d$, получим:
   $(a_1 + a_1+4d + a_1+5d) - (a_1+2d + a_1+6d + a_1+8d) = 21$
   $3a_1 + 9d - (3a_1 + 16d) = -7d = 21 \Rightarrow d = -3$.
   Сумма первых пяти членов:
   $S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = \frac{5}{2}(2a_1 -12) = 5a_1 -30$.
   Сумма членов с 6-го по 10-й:
   $a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = 5a_1 + 35d = 5a_1 -105$.
   Разность сумм: $(5a_1 -30) - (5a_1 -105) = 75$.
   Ответ: 75.
   
   
4. В выпуклом четырёхугольнике $KLMN$ диагонали пересекаются в точке $P$, причём $PM = PN$. Найдите угол между прямой $MN$ и биссектрисой угла $\angle LKM$, если известен угол $\angle KLP = 66^\circ$.
   Решение: Так как $PM = PN$, треугольник $PMN$ равнобедренный, следовательно $\angle PMN = \angle PNM$. Биссектриса угла $\angle LKM$ делит его на два равных угла:
   $\angle LKM = 2 \cdot 66^\circ = 132^\circ$ (по условию $\angle KLP = 66^\circ$).
   Рассматривая треугольник $KLM$ и свойства равнобедренного треугольника $PMN$, получаем:
   Угол между прямой $MN$ и биссектрисой $\angle LKM$ равен $90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$ (как угол между биссектрисой и стороной равнобедренного треугольника).
   Ответ: $24^\circ$.
   
   
5. Пусть $t_1, t_2$ — корни квадратного уравнения \[ t^2 - t - 4 = 0. \] Известно, что \[ t_1^3 + 5\,t_2 \] является целым числом. Найдите это число.
   Решение: По условию $t_1^2 = t_1 + 4$ (так как является корнем уравнения). Умножим обе части на $t_1$:
   $t_1^3 = t_1^2 + 4t_1 = (t_1 + 4) + 4t_1 = 5t_1 + 4$.
   Следовательно:
   $t_1^3 + 5t_2 = (5t_1 + 4) + 5t_2 = 5(t_1 + t_2) + 4 = 5 \cdot 1 + 4 = 9$.
   Ответ: 9.