СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ХимБио вариант 2

1. Решить неравенство \[ x < \frac{2314 \times 2014}{x} + 300. \]
2. Гриша, Ваня, Юра и Игорь решали задачу по алгебре и получили четыре разных ответа: Гриша: \(\displaystyle \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}\); Ваня: \(\displaystyle \frac{17 + 12\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}\); Юра: \(\displaystyle \sqrt{17 - 6\sqrt{8}}\); Игорь: \(1 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\). Учитель сказал, что три ответа правильные, а один — нет. Определите, кто совершил ошибку, и обоснуйте ваши рассуждения.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его периметр равен 30, а синус острого угла равен \(\displaystyle \frac{12}{13}\).
4. Посчитать количество всех положительных несократимых дробей со знаменателем 385 и числителем, не превосходящим 770.
5. Сумма четырёх неотрицательных чисел \(x, y, z, h\) равна 24. Чему равно наибольшее значение \[ V = xy + zh \] при этом условии?

Решения задач

1. Решить неравенство \[ x < \frac{2314 \times 2014}{x} + 300. \]
   Решение:
   Перенесём все слагаемые в левую часть: \[ x - 300 < \frac{2314 \times 2014}{x} \] Умножаем обе части на \( x \) (учитывая \( x \neq 0 \)): \[ x^2 - 300x - 2314 \times 2014 < 0 \] Вычислим произведение \( 2314 \times 2014 \): \[ 2314 \times 2014 = (2000 + 314)(2000 + 14) = 2000^2 + 2000 \times 14 + 2000 \times 314 + 314 \times 14 = 4\,000\,000 + 28\,000 + 628\,000 + 4\,396 = 4\,660\,396 \] Получаем квадратное неравенство: \[ x^2 - 300x - 4\,660\,396 < 0 \] Дискриминант уравнения \( x^2 - 300x - 4\,660\,396 = 0 \): \[ D = 300^2 + 4 \times 1 \times 4\,660\,396 = 90\,000 + 18\,641\,584 = 18\,731\,584 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{300 \pm \sqrt{18\,731\,584}}{2} \approx \frac{300 \pm 4328.5}{2} \] Интервал решения неравенства \( (x_1; x_2) \approx (-2014.25; 2314.25) \). Учитывая \( x \neq 0 \), окончательно: \[ x \in (-2014.25; 0) \cup (0; 2314.25) \] Ответ: \( x \in (-2014.25; 0) \cup (0; 2314.25) \).
   
   
2. Определить, кто совершил ошибку.
   Решение:
   Упростим ответы:
   • Гриша: \[ \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2} \text{ (после рационализации)} \]
   • Ваня: \[ \frac{17 + 12\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2} \text{ (после упрощения)} \]
   • Юра: \[ \sqrt{17 - 6\sqrt{8}} = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2} \text{ (так как \( (3 - 2\sqrt{2})^2 = 17 - 12\sqrt{2} \))} \]
   • Игорь: \[ 1 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \approx 1 + 3.464 + 2.828 \approx 7.292 \text{ (не соответствует ни одному из трёх предыдущих)} \]
   Игорь получил отличный от обоснованных результат.
   Ответ: Ошибся Игорь.
   
   
3. Найти площадь прямоугольного треугольника с периметром 30 и \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\).
   Решение:
   Пусть катеты \( a = 5k \), \( b = 12k \), гипотенуза \( c = 13k \). Периметр: \[ 5k + 12k + 13k = 30 \quad \Rightarrow \quad 30k = 30 \quad \Rightarrow \quad k = 1 \] Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \] Ответ: \( 30 \).
   
   
4. Количество положительных несократимых дробей с знаменателем 385, числитель \(\leq 770\).
   Решение:
   Знаменатель \( 385 = 5 \times 7 \times 11 \). Числитель должен быть взаимно прост с 385 и находиться в диапазоне \( 1 \leq n \leq 770 \). В каждом промежутке \( 1-385 \) и \( 386-770 \): \[ \varphi(385) = 385 \times \left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{7}\right)\left(1 - \frac{1}{11}\right) = 240 \] Всего таких числителей: \[ 240 \times 2 = 480 \] Ответ: \( 480 \).
   
   
5. Наибольшее значение \( V = xy + zh \) при \( x + y + z + h = 24 \).
   Решение:
   Максимизируем \( xy \) и \( zh \) раздельно. По неравенству Коши максимум \( xy \) и \( zh \) достигается при равенстве переменных в парах: \[ x = y = \frac{S_1}{2}, \quad z = h = \frac{S_2}{2}, \quad S_1 + S_2 = 24 \] Тогда: \[ V_{\text{max}} = \left(\frac{S_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{2}\right)^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{4} \] Максимум достигается при \( S_1 = 24 \), \( S_2 = 0 \): \[ V_{\text{max}} = \frac{24^2}{4} = 144 \] Ответ: \( 144 \).