СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2014 год

ФизМат вариант 2

1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (2 - 3x)(5y - 1) = -(9x + 2)(2y + 1),\\[6pt] -(2x + 9)(3y + 2) = (x - 9)(y + 2). \end{cases} \]
2. Найдите количество чисел от 20 до 60 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя (и произвольное количество чётных делителей). Например, число 24 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24, причём ровно два из делителей — 1 и 3 — нечётные.
3. В треугольнике \(KLM\) на стороне \(KL\) выбраны точки \(A\) и \(B\), так что \(KA = AB = BL\), а на стороне \(MK\) — точки \(C\) и \(D\), так что \(MC:CD:DK = 1:1:2\). Найдите площадь треугольника \(KLM\), если известно, что площадь четырёхугольника \(ABCD\) равна 24.
4. Даны два числа \[ p = 1{,}25\;\sqrt[7]{0{,}8}, \quad q = 0{,}8\;\sqrt[7]{1{,}25}. \] Определите, какое из этих чисел расположено ближе к единице на числовой оси. Ответ обоснуйте.
5. Найдите все значения параметра \(b\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(|x| - 2\bigr) \] на отрезке \([b - 2,\, b]\) достигает наименьшего значения.

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{1}{x + 5} \le 1. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{1}{x + 5} \le 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x + 5} - 1 \le 0. \]
   Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{1 - (x + 5)}{x + 5} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-x - 4}{x + 5} \le 0. \]
   Умножаем числитель и знаменатель на \(-1\) (меняем знак неравенства): \[ \frac{x + 4}{x + 5} \ge 0. \]
   Нули числителя: \(x = -4\), знаменателя: \(x = -5\). Определяем знаки на интервалах:
   \(x < -5\): \((x + 4)\) и \((x + 5)\) отрицательны, дробь положительна.
   \(-5 < x < -4\): \((x + 4)\) отрицательна, \((x + 5)\) положительна, дробь отрицательна.
   \(x > -4\): \((x + 4)\) и \((x + 5)\) положительны, дробь положительна.
   Решение: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-4; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-4; +\infty)\).
2. При каких значениях \(b\) уравнение \[ \bigl(4b^2 + 2b\bigr)x^2 + (4b + 2)x - 6b - 3 = 0 \] имеет более одного корня?
   Решение: Уравнение квадратичное, если \(4b^2 + 2b \neq 0\). Находим ограничения: \[ 4b^2 + 2b \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 2b(2b + 1) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad b \neq 0 \text{ и } b \neq -\tfrac{1}{2}. \]
   Дискриминант: \[ D = (4b + 2)^2 - 4(4b^2 + 2b)(-6b - 3). \]
   После преобразований дискриминант принимает вид: \[ D = 8(b + \tfrac{1}{2})(6b + 1)(2b + 1). \]
   Условие \(D > 0\) выполняется при: \[ (b + \tfrac{1}{2})(6b + 1)(2b + 1) > 0. \]
   Анализируя интервалы, получаем решение \(b > -\tfrac{1}{6}\) с исключением \(b = 0\).
   Ответ: \(b \in \bigl(-\tfrac{1}{6}; +\infty\bigr) \setminus \{0\}\).
3. Мой двоюродный брат младше меня на 16 лет. Когда ему будет столько лет, сколько мне сейчас, то мне будет в 9 раз больше лет, чем ему сейчас. Сколько лет мне и сколько лет ему?
   Решение: Пусть мои текущие года — \(x\), брата — \(y\). По условию: \[ y = x - 16. \]
   Через \(x - y = 16\) лет возраст брата станет \(x\), а мой возраст будет \(x + 16\). По условию: \[ x + 16 = 9y. \]
   Подставляем \(y = x - 16\): \[ x + 16 = 9(x - 16) \quad \Rightarrow \quad x = 20, \quad y = 4. \]
   Ответ: мне 20 лет, брату 4 года.
4. Числа \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют геометрическую прогрессию. Сумма прогрессии равна \(-20\), сумма обратных величин равна \(-\tfrac{5}{27}\). Найти произведение \(a_1a_2a_3a_4\).
   Решение: Пусть \(a_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель. Сумма: \[ a_1(1 + q + q^2 + q^3) = -20. \]
   Сумма обратных величин: \[ \frac{1}{a_1}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right) = -\tfrac{5}{27}. \]
   Путем преобразований находим: \[ a_1^2 q^3 = 108 \quad \Rightarrow \quad a_1a_2a_3a_4 = a_1^4 q^6 = 108^2 = 11664. \]
   Ответ: 11664.
5. Окружности радиусов 1 и 9 касаются внешне в точке \(M\). Общая касательная через \(M\) пересекает другую общую касательную в точке \(N\). Найти \(MN\).
   Решение: Центры окружностей \(O_1(0; 1)\) и \(O_2(0; -9)\). Вторая общая касательная \(y = \tfrac{3}{4}x + \tfrac{9}{4}\) пересекает первую касательную \(y = 0\) в точке \(N(-3; 0)\).
   Расстояние \(MN = |0 - (-3)| = 3\).
   Ответ: 3.