СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Май 2014 год

ХимБио вариант 1

1. Решить неравенство \[ x < \frac{1814 \times 2014}{x} + 200. \]
2. Миша, Петя, Коля и Вася решали задачу по алгебре и получили четыре разных ответа: Миша: \(\displaystyle \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\); Петя: \(\displaystyle \frac{17 - 12\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}\); Коля: \(\displaystyle \sqrt{17 - 6\sqrt{8}}\); Вася: \(1 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\). Учитель сказал, что три ответа правильные, а один — нет. Определите, кто совершил ошибку, и обоснуйте ваши рассуждения.
3. Периметр прямоугольного треугольника равен 40, а косинус острого угла равен \(\frac{15}{17}\). Найти его площадь.
4. Посчитать количество всех положительных несократимых дробей со знаменателем 165 и числителем, не превосходящим 330.
5. Сумма четырёх неотрицательных чисел \(a, b, c, d\) равна 28. Чему равно наибольшее значение \[ S = ab + cd \] при этом условии?

Решения задач

1. Решить неравенство \[ x < \frac{1814 \times 2014}{x} + 200. \]
   Решение: Перенесём 200 влево: \[ x - 200 < \frac{1814 \cdot 2014}{x}. \] Умножим обе части на \( x \neq 0 \). Рассмотрим два случая:
   1. \( x > 0 \): \[ x^2 - 200x - 1814 \cdot 2014 < 0. \] Найдём корни уравнения \( x^2 - 200x - 1814 \cdot 2014 = 0 \): \[ D = 40000 + 4 \cdot 1814 \cdot 2014 = 4(1814 \cdot 2014 + 10000). \] Числитель исходной дроби: \( 1814 \cdot 2014 = (2014 - 200)(2014) = 2014^2 - 200 \cdot 2014 \).
      После вычислений получаем: \[ x_1 = -1814, \quad x_2 = 2014. \] Решение неравенства: \( -1814 < x 0 \): \( 0 < x < 2014 \).
      
      
   2. \( x 0. \] Решение неравенства: \( x 2014 \). С учётом \( x < 0 \): \( x \in (-\infty, -1814) \).
   
   
   Объединяя оба случая: \[ x \in (-\infty, -1814) \cup (0, 2014). \]
   Ответ: \( x \in (-\infty; -1814) \cup (0; 2014) \).
   
   
2. Определить ошибочный ответ. Проверим каждое выражение:
   • Миша: \(\displaystyle \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\). Рационализируем знаменатель: \[ \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}. \]
   • Петя: \(\displaystyle \frac{17 - 12\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}\). Умножим на сопряжённый знаменатель: \[ \frac{(17 - 12\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{51 + 34\sqrt{2} - 36\sqrt{2} - 48}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}. \]
   • Коля: \(\displaystyle \sqrt{17 - 6\sqrt{8}} = \sqrt{17 - 6 \cdot 2\sqrt{2}} = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\). Заметим, что \( 17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2 \), поэтому: \[ \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = 3 - 2\sqrt{2}. \]
   • Вася: \(1 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\). Это выражение отрицательно (примерно \(1 - 5,196 - 2,828 ≈ -6,124\)), что противоречит положительным корням других ответов.
   Ответ: Ошибся Вася.
   
   
3. Периметр треугольника равен 40, косинус острого угла \( \cos \alpha = \frac{15}{17} \).
   Решение: Пусть прилежащий катет \(a = 15k\), гипотенуза \(c = 17k\), тогда противолежащий катет \(b = \sqrt{(17k)^2 - (15k)^2} = 8k\).
   Периметр: \(15k + 8k + 17k = 40k = 40 \Rightarrow k = 1\).
   Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = 60. \]
   Ответ: 60.
   
   
4. Количество несократимых дробей со знаменателем 165 (165 = 3·5·11) и числителем \( \leq 330 \).
   Решение: Числители должны быть взаимнопросты с 165. Так как 330 = 2·165, рассмотрим два интервала: [1, 165] и [166, 330].
   Значение функции Эйлера для 165: \[ \varphi(165) = 165 \left(1 - \frac{1}{3}\right)\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{11}\right) = 80. \] В каждом интервале по 80 чисел, взаимнопростых с 165. Всего: \(80 \times 2 = 160\).
   Ответ: 160.
   
   
5. Максимальное значение \( S = ab + cd \) при \( a + b + c + d = 28 \), переменные неотрицательные.
   Решение: Максимизируем \( ab \) и \( cd \) по отдельности. Для фиксированных сумм \( a + b = x \), \( c + d = 28 - x \): \[ ab \leq \left(\frac{x}{2}\right)^2, \quad cd \leq \left(\frac{28 - x}{2}\right)^2. \] Подставим и найдём максимум суммы: \[ S = \frac{x^2}{4} + \frac{(28 - x)^2}{4}. \] Производная \( S' = \frac{x}{2} - \frac{28 - x}{2} = x - 14 \). Максимум достигается на концах: \( x = 0 \) или \( x = 28 \).
   При \( x = 28 \): \( S = \frac{28^2}{4} + 0 = 196 \).
   Ответ: 196.