СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2014 Вариант 1

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2014 год

ФизМат вариант 1

1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (5x - 1)(3y + 2) = (2x + 1)(9y - 2),\\[6pt] (3x + 2)(2y - 9) = -(x + 2)(y + 9). \end{cases} \]
2. Найдите количество чисел от 10 до 50 (включительно), имеющих ровно два нечётных положительных делителя (и произвольное количество чётных делителей). Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, причём ровно два из делителей: 1 и 3 — нечётные.
3. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) выбраны точки \(K\) и \(L\) так, что \(AK = KL = LB\), а на стороне \(BC\) — точки \(M\) и \(N\) так, что \(BM:MN:NC = 1:2:1\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если известно, что площадь четырёхугольника \(KLMN\) равна 20.
4. Даны два числа \[ a = 2{,}5\sqrt[9]{0{,}4} \quad\text{и}\quad b = 0{,}4\sqrt[9]{2{,}5}. \] Определите, какое из этих чисел расположено ближе к единице на числовой оси. Ответ обоснуйте.
5. Найдите все значения параметра \(a\), при которых разность между наибольшим и наименьшим значениями функции \[ y = x\bigl(|x| - 2\bigr) \] на отрезке \([a,\,a+2]\) достигает наименьшего значения.

Решения задач

1. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} (5x - 1)(3y + 2) = (2x + 1)(9y - 2),\\ (3x + 2)(2y - 9) = - (x + 2)(y + 9). \end{cases} \] Решение:
   1. Преобразуем первое уравнение: \[ (5x - 1)(3y + 2) = (2x + 1)(9y - 2) \implies -3xy + 14x -12y = 0 \implies x(14 - 3y) = 12y. \]
   2. Преобразуем второе уравнение: \[ (3x + 2)(2y - 9) = - (x + 2)(y + 9) \implies 7xy -18x +6y = 0 \implies x(7y - 18) +6y = 0. \]
   3. Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим \(x = \frac{12y}{14 - 3y}\), подставим во второе уравнение: \[ 7 \cdot \frac{12y}{14 - 3y} \cdot y - 18 \cdot \frac{12y}{14 - 3y} +6y = 0. \] После преобразований получаем \(y(y-2) = 0 \implies y = 0\) или \(y = 2\).
      • При \(y = 0\): \(x = 0\).
      • При \(y = 2\): \(x = \frac{24}{8} = 3\).
      Проверка подтверждает решения: \((0;0)\) и \((3;2)\).
   Ответ: \((0;0)\), \((3;2)\).
2. Найдите количество чисел от 20 до 35 включительно, имеющих ровно два нечётных делителя.
   Решение: Числа с двумя нечётными делителями представимы в виде \(2^k \cdot p\), где \(p\) — нечётное простое. В диапазоне от 20 до 35 это: \[ 20, 22, 23, 24, 26, 28, 29, 31, 34. \] Ответ: 9 чисел.
3. В треугольнике \(ABC\) точки \(K\), \(L\) делят \(AB\) на три равные части, точка \(M\) делит \(BC\) в соотношении \(2:1\). Площадь треугольника \(KLM\) равна 16.
   Решение:
   • Введём систему координат: \(A(0;0)\), \(B(3;0)\), \(K(1;0)\), \(L(2;0)\), \(C(0;c)\).
   • Координаты \(M\): \(\left(1; \frac{2c}{3}\right)\).
   • Площадь \(\triangle KLM\): \(\frac{1}{2} \left|1 \cdot \frac{2c}{3}\right| = \frac{c}{3} = 16 \implies c = 48\).
   • Площадь \(\triangle ABC\): \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 48 = 72\).
   Ответ: 72.
4. Даны числа \(a = 2^9\sqrt{0{,}5}\), \(b = 0{,}5^9\sqrt{2}\). Определите ближайшее к 1.
   Решение:
   • Упростим выражения: \[ a = 2^{9} \cdot 2^{-1/2} = 2^{8.5} \approx 362, \quad b = 2^{-9} \cdot 2^{0.5} = 2^{-8.5} \approx 0{,}00276. \]
   • Расстояния до 1: \(|a - 1| \approx 361\), \(|b - 1| \approx 0{,}997\).
   Ответ: \(b\) ближе к 1.
5. Найдите параметр \(a\), при котором наименьшее значение \(|x| + |x + a| + |x - 2a| = 7\).
   Решение: Минимум функции равен \(3|a|\). Решаем уравнение: \[ 3|a| = 7 \implies |a| = \frac{7}{3} \implies a = \pm \frac{7}{3}. \] Ответ: \(a = \pm \frac{7}{3}\).