СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 Вариант 2

СУНЦ МГУ школа Колмогорова

Июнь 2013 год

ХимБио вариант 2

1. Решить неравенство \[ \frac{1}{x + 5} \le 1. \]
2. При каких значениях \(b\) уравнение \[ \bigl(4b^2 + 2b\bigr)x^2 + (4b + 2)x - 6b - 3 = 0 \] имеет более одного корня?
3. Мой двоюродный брат младше меня на 16 лет. Когда ему будет столько лет, сколько мне сейчас, то мне будет в 9 раз больше лет, чем ему сейчас. Сколько лет мне и сколько лет ему?
4. Пусть числа \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют геометрическую прогрессию. Известно, что сумма этой прогрессии равна \(-20\), а сумма обратных величин этой прогрессии равна \(-\tfrac{5}{27}\). Найти произведение чисел \(a_1a_2a_3a_4\).
5. Окружности радиуса 1 и 9 касаются друг друга внешним образом в точке \(M\), через которую проходит их общая касательная. Другая общая касательная пересекает её в точке \(N\). Найти \(MN\).

Решения задач

1. Решить неравенство \[ \frac{1}{x + 5} \le 1. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ \frac{1}{x + 5} \le 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x + 5} - 1 \le 0. \]
   Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{1 - (x + 5)}{x + 5} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-x - 4}{x + 5} \le 0. \]
   Умножаем числитель и знаменатель на \(-1\) (меняем знак неравенства): \[ \frac{x + 4}{x + 5} \ge 0. \]
   Нули числителя: \(x = -4\), знаменателя: \(x = -5\). Определяем знаки на интервалах:
   \(x < -5\): \((x + 4)\) и \((x + 5)\) отрицательны, дробь положительна.
   \(-5 < x < -4\): \((x + 4)\) отрицательна, \((x + 5)\) положительна, дробь отрицательна.
   \(x > -4\): \((x + 4)\) и \((x + 5)\) положительны, дробь положительна.
   Решение: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-4; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-4; +\infty)\).
2. При каких значениях \(b\) уравнение \[ \bigl(4b^2 + 2b\bigr)x^2 + (4b + 2)x - 6b - 3 = 0 \] имеет более одного корня?
   Решение: Уравнение квадратичное, если \(4b^2 + 2b \neq 0\). Находим ограничения: \[ 4b^2 + 2b \neq 0 \quad \Rightarrow \quad 2b(2b + 1) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad b \neq 0 \text{ и } b \neq -\tfrac{1}{2}. \]
   Дискриминант: \[ D = (4b + 2)^2 - 4(4b^2 + 2b)(-6b - 3). \]
   После преобразований дискриминант принимает вид: \[ D = 8(b + \tfrac{1}{2})(6b + 1)(2b + 1). \]
   Условие \(D > 0\) выполняется при: \[ (b + \tfrac{1}{2})(6b + 1)(2b + 1) > 0. \]
   Анализируя интервалы, получаем решение \(b > -\tfrac{1}{6}\) с исключением \(b = 0\).
   Ответ: \(b \in \bigl(-\tfrac{1}{6}; +\infty\bigr) \setminus \{0\}\).
3. Мой двоюродный брат младше меня на 16 лет. Когда ему будет столько лет, сколько мне сейчас, то мне будет в 9 раз больше лет, чем ему сейчас. Сколько лет мне и сколько лет ему?
   Решение: Пусть мои текущие года — \(x\), брата — \(y\). По условию: \[ y = x - 16. \]
   Через \(x - y = 16\) лет возраст брата станет \(x\), а мой возраст будет \(x + 16\). По условию: \[ x + 16 = 9y. \]
   Подставляем \(y = x - 16\): \[ x + 16 = 9(x - 16) \quad \Rightarrow \quad x = 20, \quad y = 4. \]
   Ответ: мне 20 лет, брату 4 года.
4. Числа \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют геометрическую прогрессию. Сумма прогрессии равна \(-20\), сумма обратных величин равна \(-\tfrac{5}{27}\). Найти произведение \(a_1a_2a_3a_4\).
   Решение: Пусть \(a_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель. Сумма: \[ a_1(1 + q + q^2 + q^3) = -20. \]
   Сумма обратных величин: \[ \frac{1}{a_1}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right) = -\tfrac{5}{27}. \]
   Путем преобразований находим: \[ a_1^2 q^3 = 108 \quad \Rightarrow \quad a_1a_2a_3a_4 = a_1^4 q^6 = 108^2 = 11664. \]
   Ответ: 11664.
5. Окружности радиусов 1 и 9 касаются внешне в точке \(M\). Общая касательная через \(M\) пересекает другую общую касательную в точке \(N\). Найти \(MN\).
   Решение: Центры окружностей \(O_1(0; 1)\) и \(O_2(0; -9)\). Вторая общая касательная \(y = \tfrac{3}{4}x + \tfrac{9}{4}\) пересекает первую касательную \(y = 0\) в точке \(N(-3; 0)\).
   Расстояние \(MN = |0 - (-3)| = 3\).
   Ответ: 3.