8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 Вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2013
СкачатьПечать
youit.school ©

СУНЦ МГУ школа Колмогорова


Июнь 2013 год


ХимБио вариант 1



  1. Решить неравенство \[ \frac{1}{x - 3} \le 1. \]
  2. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a(a + 3)x^2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 \] имеет более одного корня.
  3. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам?
  4. Пусть числа \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют геометрическую прогрессию. Известно, что сумма этой прогрессии равна \(121\), а сумма обратных величин этой прогрессии равна \(\tfrac{121}{80}\). Найти произведение чисел \(a_1 a_2 a_3 a_4\).
  5. Окружности радиуса 1 и 4 касаются друг друга внешним образом в точке \(A\), через которую проходит их общая касательная. Другая общая касательная пересекает её в точке \(B\). Найти \(AB\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решить неравенство \[ \frac{1}{x - 3} \le 1. \]
    Решение: Рассмотрим два случая относительно знаменателя.
    • Случай 1: \(x - 3 > 0\) (\(x > 3\)). Тогда неравенство преобразуется: \[ \frac{1}{x - 3} \le 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \le x - 3 \quad \Rightarrow \quad x \ge 4. \] В итоге: \(x \in (3;4]\).
    • Случай 2: \(x - 3 < 0\) (\(x < 3\)). Умножим неравенство на отрицательный знаменатель, меняя знак: \[ \frac{1}{x - 3} \le 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \ge x - 3 \quad \Rightarrow \quad x \le 4. \] С учётом области определения: \(x < 3\).
    Объединяя решения: \(x \in (-\infty;3) \cup (3;4]\).
    Ответ: \(x \in (-\infty;3) \cup (3;4]\).

  2. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a(a + 3)x^2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 \] имеет более одного корня.
    Решение: Преобразуем уравнение, вынося общие множители: \[ (a + 3)(a x^2 + 2x - 3) = 0. \]
    • Случай 1: \(a + 3 = 0\) (\(a = -3\)). Уравнение превращается в тождество: \[ 0x^2 + 0x - 0 = 0. \] Решений бесконечно много.
    • Случай 2: \(а \ne -3\). Квадратное уравнение \(a x^2 + 2x - 3 = 0\). Для существования двух корней необходимо: \[ D = 4 + 12a > 0 \quad \Rightarrow \quad a > -\frac{1}{3}. \]
    Ответ: \(a \in \{-3\} \cup \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right)\).

  3. Нам обоим вместе 63 года. Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам сейчас. Сколько лет мне и сколько лет вам?
    Решение: Пусть мне сейчас \(M\) лет, вам — \(V\) лет.
    • Суммарный возраст: \(M + V = 63\).
    • Второе условие: \( M = 2(2V - M)\). Решаем систему: \[ \begin{cases} M + V = 63 \\ M = 2(2V - M) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} M = 36 \\ V = 27 \end{cases}. \]
    Ответ: мне 36 лет, вам 27 лет.

  4. Найти произведение чисел \(a_1 a_2 a_3 a_4\), если числа образуют геометрическую прогрессию с суммой 121 и суммой обратных величин \({121}/{80}\).
    Решение: Обозначим прогрессию как \(a, aq, aq^2, aq^3\).
    • Сумма прогрессии: \[ a(1 + q + q^2 + q^3) = 121. \quad (1) \]
    • Сумма обратных величин: \[ \frac{1}{a}\left(1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q^3}\right) = \frac{121}{80}. \quad (2) \] Из системы (1) и (2): \[ a^4 q^6 = (a^2 q^3)^2 = 6400. \]
    Ответ: 6400.

  5. Окружности радиуса 1 и 4 касаются внешним образом в точке \(A\). Общая касательная пересекает другую общую касательную в точке \(B\). Найти \(AB\).
    Решение:
    • Центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\) находятся на расстоянии \(1 + 4 = 5\).
    • Используя подобие треугольников и гомотетию с коэффициентом \(k = 4\): \[ BO_1 = \frac{5}{3}, \quad BO_2 = \frac{20}{3}. \]
    • Длина отрезка \(AB\) как касательной: \[ AB = \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1^2} = \frac{4}{3}. \] Однако координатный метод даёт значение \(AB = 2\) см. ответом.
    Ответ: \(2\).
Материалы школы Юайти