СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

Химико-биологическое отделение. 2 вариант

1. Решите неравенство: \(\lvert 2x - 3 \rvert > 4x.\)
2. Площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) (\(AD > BC\)) равна 128, а площадь треугольника \(BOC\) равна 2, где \(O\) – точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите площадь треугольника \(AOD\).
3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5,\\[6pt] \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 13. \end{cases} \]
4. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ x^2 - \bigl(a^2 + a + 1\bigr)x + a^3 + a < 0 \] содержит отрезок \([0,1]\).
5. Решите неравенство: \[ \sqrt{9 - x^2}\bigl(x^2 + 4x - 5\bigr)\le 0. \]

Ответы. 2 вариант

1. \(x<\tfrac12\).
2. \(98\).
3. \(\bigl(\tfrac13,\tfrac12\bigr),\;\bigl(\tfrac12,\tfrac23\bigr)\).
4. \(a < 0.\)
5. \(a<0.5,\quad [-3,1]\cup\{3\}.\)

Решения задач

1. Решите неравенство: \(\lvert 2x - 3 \rvert > 4x.\)
   Решение: Неравенство \(|2x - 3| > 4x\) решается по определению модуля. Рассмотрим два случая:
   1. При \(4x \ge 0\) (\(x \ge 0\)): \[ \begin{cases} x \ge 0, \\ 2x - 3 \gt 4x 2x - 3 4x \Rightarrow -3 \gt 2x \Rightarrow x \lt -\frac{3}{2} \end{cases} \] Не пересекается с \(x \ge 0\).
      Второе неравенство: \(2x - 3 < -4x \Rightarrow 6x < 3 \Rightarrow x < \frac{1}{2}\). Пересечение с \(x \ge 0\) даёт \(0 \le x < \frac{1}{2}\).
   2. При \(4x < 0\) (\(x < 0\)):
      Левая часть \(|2x - 3|\) неотрицательна, правая \(4x\) отрицательна. Неравенство верно для всех \(x < 0\).
   Объединяя оба случая: \(x < \frac{1}{2}\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{1}{2})\).
2. Площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) (\(AD > BC\)) равна 128, а площадь треугольника \(BOC\) равна 2, где \(O\) – точка пересечения диагоналей трапеции. Найдите площадь треугольника \(AOD\).
   Решение: Точка пересечения диагоналей делит их в отношении \(AD/BC = k\). Обозначим площадь \(BOC = 2\). Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны с коэффициентом \(k^2\).
   Из свойств трапеции: \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 \Rightarrow S_{AOD} = 2k^2. \] Учитывая площади треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(AOD\), получаем суммарную площадь трапеции: \[ S = 2k + 2 + \frac{2}{k} + 2k^2 = 128 \Rightarrow 2k^2 + 2k + \frac{2}{k} = 124. \] Обозначив \(k = \frac{AD}{BC}\), получаем \(k = 7\). Тогда \(S_{AOD} = 2 \cdot 7^2 = 98\).
   Ответ: 98.
3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 5,\\[6pt] \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = 13. \end{cases} \]
   Решение: Замена \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\). Система принимает вид: \[ \begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 = 13. \end{cases} \] Используя тождество \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), находим: \[ 25 = 13 + 2ab \Rightarrow ab = 6. \] Корни квадратного уравнения \(t^2 - 5t + 6 = 0\): \(t = 2\) или \(t = 3\). Получаем решения: \[ (a, b) = (2, 3) \Rightarrow (x, y) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right); \] \[ (a, b) = (3, 2) \Rightarrow (x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right). \] Ответ: \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\right)\), \(\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}\right)\).
4. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ x^2 - \bigl(a^2 + a + 1\bigr)x + a^3 + a < 0 \] содержит отрезок \([0,1]\).
   Решение: Неравенство должно выполняться на \([0;1]\). Для этого корни квадратного трёхчлена должны удовлетворять \(x_1 \le 0\) и \(x_2 \ge 1\). Условия: \[ \begin{cases} f(0) \le 0 \Rightarrow a(a^2 + 1) \le 0 \Rightarrow a \le 0, \\ f(1) \le 0 \Rightarrow a^2(a - 1) \le 0 \Rightarrow a \le 1. \end{cases} \] Дискриминант \(D = (a^2 - a + 1)^2 \ge 0\) всегда неотрицателен. Объединение условий: \(a \le 0\).
   Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\).
5. Решите неравенство: \[ \sqrt{9 - x^2}\bigl(x^2 + 4x - 5\bigr)\le 0. \]
   Решение: Область определения: \(9 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x \in [-3; 3]\). Рассмотрим равенство нулю множителей: \[ \sqrt{9 - x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm 3. \] Решаем \(x^2 + 4x - 5 \le 0\): \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 1, -5. \] Пересечение с областью определения: \(x \in [-3; 1]\). Учёт точек \(x = \pm3\): \[ x \in [-3; 1]. \] Ответ: \(x \in [-3; 1]\).