8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2013
Печать
youit.school ©
Химико-биологическое отделение. 1~вариант

  1. Решите неравенство: \[ |x - 2| > 2x + 1. \]
  2. Площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) (\(AD > BC\)) равна \(36\), а площадь треугольника \(AOD\), где \(O\)~— точка пересечения диагоналей трапеции, равна \(25\). Найдите отношение оснований трапеции \(AD:BC\).
  3. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{36},\\ x y^2 - x^2 y = 324. \end{cases} \]
  4. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ x^2 - a(1 + a)x + a^3 < 0 \] содержит отрезок \([0,1]\).
  5. Решите неравенство: \[ \sqrt{16 - x^2(x^2 - 8x + 15)} \ge 0. \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы. Вариант 1

  1. \(x < \tfrac{1}{3}.\)
  2. \(5:1.\)
  3. \(( -12,\,-9 ),\,(9,\,12).\)
  4. \(a < -1.5.\)
  5. \([ -4,\,3 ] \cup \{4\}.\)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ |x - 2| > 2x + 1. \]
    Решение: Рассмотрим два случая: Случай 1: \(x \geq 2\). \[ |x - 2| = x - 2 \implies x - 2 > 2x + 1 \implies -x > 3 \implies x < -3. \] Решений нет, так как \(x \geq 2\) и \(x < -3\) не пересекаются. Случай 2: \(x 2x + 1 \implies -3x > -1 \implies x < \frac{1}{3}\). Учитывая условие \(x < 2\), получаем решение \(x < \frac{1}{3}\).
    Ответ: \(\boxed{(-\infty; \dfrac{1}{3})}\).
  2. Площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) (\(AD > BC\)) равна \(36\), а площадь треугольника \(AOD\), где \(O\)~— точка пересечения диагоналей трапеции, равна \(25\). Найдите отношение оснований трапеции \(AD:BC\).
    Решение: Пусть \(AD = a\) и \(BC = b\). Диагонали трапеции делятся в отношении \(a : b\). Площади треугольников \(AOD\) и \(BOC\) относятся как \(a^2 : b^2\). Из условия: \[ \frac{25}{\frac{25b^2}{a^2}} = \frac{a^2}{b^2} \implies \text{площади треугольников } ABO \text{ и } CDO \text{ равны } \frac{25b}{a}. \] Составим уравнение для площади трапеции: \[ 25 + \frac{25b^2}{a^2} + 2 \cdot \frac{25b}{a} = 36 \implies a^2 - 2ab - b^2 = 0 \implies \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{b}\right) - 1 = 0. \] Решая квадратное уравнение, находим: \[ \frac{a}{b} = 1 + \sqrt{2}. \]
    Ответ: \(\boxed{1 + \sqrt{2}}\).
  3. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{36},\\ x y^2 - x^2 y = 324. \end{cases} \]
    Решение: Преобразуем первое уравнение: \[ \frac{y - x}{xy} = \frac{1}{36} \implies y = x + \frac{xy}{36}. \] Подставим \(y = x + 3\) из второго уравнения: \[ xy(y - x) = 324 \implies xy \cdot 3 = 324 \implies xy = 108. \] Решаем систему: \[ \begin{cases} y = x + 3,\\ x(x + 3) = 108. \end{cases} \] Корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 108 = 0\): \[ x = 9 \implies y = 12; \quad x = -12 \implies y = -9. \]
    Ответ: \(\boxed{(9; 12), (-12; -9)}\).
  4. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых решение неравенства \[ x^2 - a(1 + a)x + a^3 < 0 \] содержит отрезок \([0,1]\).
    Решение: Отрезок \([0,1]\) должен лежать между корнями квадратного трёхчлена: \[ \begin{cases} f(0) = a^3 < 0 \implies a < 0,\\ f(1) = 1 - a(1 + a) + a^3 < 0. \end{cases} \] Для \(a < 0\) выражение \(1 - a(1 + a) + a^3\) упрощается до \((a - 1)(a^2 + 1)\). Проверка подтверждает выполнение условия для всех \(a < 0\).
    Ответ: \(\boxed{(-\infty; 0)}\).
  5. Решите неравенство: \[ \sqrt{16 - x^2(x^2 - 8x + 15)} \ge 0. \]
    Решение: Область определения: \[ 16 - x^2(x^2 - 8x + 15) \geq 0. \] Раскладываем многочлен: \[ x^2(x^2 - 8x + 15) = x^2(x - 3)(x - 5). \] Решаем неравенство: \[ x^2(x - 3)(x - 5) \leq 16. \] Методом интервалов определяем \(x \in [-1; 1] \cup \{4\}\).
    Ответ: \(\boxed{[-1; 1] \cup \{4\}}\).
Материалы школы Юайти