8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2013
Печать
youit.school ©
Хим-Био отделение. 2 вариант


  1. Решите неравенство: \[ \frac{3x - 1}{1 - x} > 1. \]
  2. В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) взята точка \(P\) так, что \(PB = PC\), а на стороне \(CD\) взята точка \(Q\) так, что \(2\,CQ = QD\). Найдите отношение площади треугольника \(APQ\) к площади треугольника \(PQC\).
  3. Для всех значений параметра \(a\) определите число решений уравнения \[ x\lvert x - 2\rvert - a = 0. \]
  4. Сумма первого, второго, третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии равна \(-40\), причём второй член меньше третьего. Найдите знаменатель прогрессии, если шестой член прогрессии меньше второго на \(240\).
  5. В двух бригадах вместе более 27 человек. Число членов первой бригады более чем в 2 раза превышает число членов второй бригады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы. Химико-биологическое отделение. 2 вариант


  1. $-\tfrac12 < x < 1$.
  2. $4 : 1$.
    • При $a<0$ — одно решение;
    • при $a=0$ — два решения;
    • при $0<a<1$ — три решения;
    • при $a=1$ — два решения;
    • при $a>1$ — одно решение.
  4. $-2$.
  5. $11$ и $17$.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \frac{3x - 1}{1 - x} > 1. \]
    Решение:
    Перенесём 1 в левую часть неравенства: \[ \frac{3x - 1}{1 - x} - 1 > 0 \implies \frac{3x - 1 - (1 - x)}{1 - x} > 0 \implies \frac{4x - 2}{1 - x} > 0. \]
    Метод интервалов:
    Корень числителя: $4x - 2 = 0 \implies x = 0,5$.
    Корень знаменателя: $1 - x = 0 \implies x = 1$.
    На промежутках:
    • $(-\infty; 0,5)$: числитель отрицательный, знаменатель положительный $\implies$ дробь отрицательна.
    • $(0,5; 1)$: числитель положительный, знаменатель положительный $\implies$ дробь положительна.
    • $(1; +\infty)$: числитель положительный, знаменатель отрицательный $\implies$ дробь отрицательна.
    Решение неравенства: $x \in (0,5; 1)$.
    Ответ: $x \in \left(\dfrac{1}{2}; 1\right)$. % Исправление: добавил правильный формат интервала
  2. В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) взята точка \(P\) так, что \(PB = PC\), а на стороне \(CD\) взята точка \(Q\) так, что \(2\,CQ = QD\). Найдите отношение площади треугольника \(APQ\) к площади треугольника \(PQC\).
    Решение:
    Введём координаты:
    • Пусть \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\), \(D(0; b)\), тогда \(C(a; b)\).
    • Точка \(P\) — середина \(BC\): \(P\left(a; \dfrac{b}{2}\right)\).
    • Точка \(Q\) делит \(CD\) в отношении \(1:2\): \(Q\left(\dfrac{a}{3}; b\right)\).
    Найдём площади треугольников:
    • \(S_{APQ}\): точки \(A(0;0)\), \(P(a; \dfrac{b}{2})\), \(Q\left(\dfrac{a}{3}; b\right)\). \[ S_{APQ} = \dfrac{1}{2} \left| a \cdot \left(b - \dfrac{b}{2}\right) - \dfrac{a}{3} \cdot \left(0 - \dfrac{b}{2}\right) \right| = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{ab}{2} + \dfrac{ab}{6} \right) = \dfrac{ab}{3}. \]
    • \(S_{PQC}\): точки \(P(a; \dfrac{b}{2})\), \(Q\left(\dfrac{a}{3}; b\right)\), \(C(a; b)\). \[ S_{PQC} = \dfrac{1}{2} \left| \left(a - \dfrac{a}{3}\right) \cdot \left(b - \dfrac{b}{2}\right) \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2a}{3} \cdot \dfrac{b}{2} = \dfrac{ab}{6}. \]
    Отношение площадей: $\dfrac{S_{APQ}}{S_{PQC}} = \dfrac{\dfrac{ab}{3}}{\dfrac{ab}{6}} = 2$.
    Ответ: 2.
  3. Для всех значений параметра \(a\) определите число решений уравнения \[ x\lvert x - 2\rvert - a = 0. \]
    Решение: Рассмотрим функцию \(f(x) = x|x - 2|\). Построим график:
    • При \(x \geq 2\): \(f(x) = x(x - 2)\).
    • При \(x < 2\): \(f(x) = x(2 - x)\).
    Анализ экстремумов:
    • Для \(x < 2\): максимум при \(x = 1\), \(f(1) = 1\).
    • При \(x \geq 2\): функция возрастает.
    Уравнение \(x|x - 2| = a\) имеет:
    • При \(a < 0\): 0 решений.
    • При \(a = 0\): 2 решения (\(x = 0, 2\)).
    • При \(0 < a < 1\): 3 решения.
    • При \(a = 1\): 2 решения.
    • При \(1 < a < 8\): 2 решения.
    • При \(a \geq 8\): 1 решение (для \(x \geq 2\)).
    Ответ: \[ \begin{cases} 0 & \text{при } a < 0 \\ 2 & \text{при } a = 0 \text{ или } a = 1 \text{ или } a \geq 8 \\ 3 & \text{при } 0 < a < 1 \\ 2 & \text{при } 1 \leq a <8 \end{cases}. \]
  4. Сумма первого, второго, третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии равна \(-40\), причём второй член меньше третьего. Найдите знаменатель прогрессии, если шестой член прогрессии меньше второго на \(240\).
    Решение:
    Обозначим \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии.
    • Сумма первых четырёх членов: \[ b_1(1 + q + q^2 + q^3) = -40. \quad (1) \]
    • Условие для шестого и второго членов: \[ b_1q^5 = b_1q - 240 \implies b_1q(q^4 - 1) = -240. \quad (2) \] Разделим (2) на (1): \[ \dfrac{q(q^4 - 1)}{1 + q + q^2 + q^3} = \dfrac{-240}{-40} = 6. \] Упростим: \[ \dfrac{q(q - 1)(q + 1)(q^2 + 1)}{(1 + q)(q^2 + 1)} = q(q - 1) = 6 \implies q^2 - q - 6 = 0. \] Корни: \(q = 3\) (не подходит, так как \(b_2 > b_3\)) и \(q = -2\). Проверка:
      • При \(q = -2\) получаем \(b_1 = 8\), сумма \(8(1 - 2 + 4 - 8) = -40\).
      • Шестой член: \(8(-2)^5 = -256\), второй член: \(8(-2) = -16\); \(-256 = -16 - 240\).
    Ответ: \(-2\).
  5. В двух бригадах вместе более 27 человек. Число членов первой бригады более чем в 2 раза превышает число членов второй бригады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?
    Решение:
    Пусть \(x\) — число в первой бригаде, \(y\) — во второй. Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y > 27, \\ x > 2(y - 12), \\ y > 9(x - 10). \end{cases} \] Из третьего неравенства: \[ y > 9x - 90. \] Подставляем во второе неравенство: \[ x > 2(9x - 90 - 12) \implies x > 2(9x - 102) \implies x > 18x - 204 \implies -17x > -204 \implies x 9 \cdot 11 - 90 = 9 \implies y \geq 19. \] Проверяем первое неравенство: \[ 11 + 19 = 30 > 27. \] Проверяем второе неравенство: \[ 11 > 2(19 - 12) \implies 11 > 14 \quad \text{(неверно)}. \quad \text{Ошибка!} \] Правильный анализ: Подставим \(x = 11\), \(y = 20\): \[ \begin{cases} 11 + 20 = 31 > 27, \\ 11 > 2(20 - 12) = 16 \quad \text{(неверно)}, \\ 20 > 9(11 - 10) = 9 \quad \text{(верно)}. \end{cases} \] Ищем допустимые значения:
    Откуда \(y = 17\), \(x = 11\): \[ \begin{cases} 11 + 17 = 28 > 27, \\ 11 > 2(17 - 12) = 10 \quad \text{(верно)}, \\ 17 > 9(11 - 10) = 9 \quad \text{(верно)}. \end{cases} \] Ответ: В первой бригаде 11 человек, во второй — 17 человек.
Материалы школы Юайти