СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2013 год вариант 1

1. Решите неравенство \[ \frac{3 - 2x}{1 - x} > 1. \]
2. В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) взята точка \(P\) так, что \(2PB = PC\), а на стороне \(CD\) взята точка \(Q\) так, что \(CQ = QD\). Найдите отношение площади треугольника \(APQ\) к площади треугольника \(PQC\).
   
   
3. Для всех значений параметра \(a\) определите число решений уравнения \[ x\,|x - 4| - a = 0. \]
   
   
4. Сумма первого, второго, третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии равна \(-312\), причём третий член больше второго. Найдите знаменатель прогрессии, если второй член прогрессии больше шестого на \(6240\).
   
   
5. В двух коробках находится более \(30\) одинаковых конфет. Число конфет в первой коробке, уменьшенное на \(1\), более чем в \(3\) раза превышает число конфет во второй коробке. Утроенное число конфет в первой коробке превышает удвоенное число конфет во второй коробке, но не менее, чем на \(59\). Сколько конфет в каждой коробке?

1. \(x 2.\)
2. \(5:2.\)
3. При \(a < 0\) — одно решение; при \(a = 0\) — два решения; при \(0 < a 4\) — одно решение.
4. \(-4.\)
5. \(24\) и \(7.\)

Решения задач

1. Решите неравенство \[ \frac{3 - 2x}{1 - x} > 1. \] Решение: Перенесем 1 в левую часть неравенства: \[ \frac{3 - 2x}{1 - x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3 - 2x - (1 - x)}{1 - x} > 0 \Leftrightarrow \frac{2 - x}{1 - x} > 0. \] Найдем критические точки: \[ 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2; \quad 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1. \] Определим знаки дроби на интервалах:
   • При \(x \in (-\infty, 1)\): числитель \(>0\), знаменатель \(>0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2 - x}{1 - x} > 0\).
   • При \(x \in (1, 2)\): числитель \(>0\), знаменатель \(<0\) \(\Rightarrow\) \(\frac{2 - x}{1 - x} < 0\).
   • При \(x \in (2, +\infty)\): числитель \(<0\), знаменатель \( 0\).
   Учитывая ОДЗ (\(x \ne 1\)), получаем решение: \[ x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty). \] Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)\).
   
   
2. В параллелограмме \(ABCD\) на стороне \(BC\) взята точка \(P\) так, что \(2PB = PC\), а на стороне \(CD\) взята точка \(Q\) так, что \(CQ = QD\). Найдите отношение площади треугольника \(APQ\) к площади треугольника \(PQC\). Решение: Введём координаты параллелограмма:
   • \(A(0, 0)\), \(B(1, 0)\), \(C(1 + 1, 1)\), \(D(1, 1)\). Примем стороны \(AB = 1\), \(AD = 1\) для упрощения.
   Найдем координаты точек \(P\) и \(Q\):
   • \(P\) делит \(BC\) в соотношении \(1:2\): \[ P\left(1 + \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \Rightarrow \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right). \]
   • \(Q\) — середина \(CD\): \[ Q\left(\frac{(1 + 1) + 1}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right). \]
   Вычислим площади треугольников через координаты:
   • Для \(\triangle APQ\): вершины \(A(0,0)\), \(P\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\), \(Q\left(\frac{3}{2}, 1\right)\).
     $S_{APQ} = \frac{1}{2}$
     $| 0 \cdot \left(\frac{1}{3} - 1\right) + \frac{5}{3} \cdot (1 - 0) + \frac{3}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3}) |$ $= \frac{1}{2}$.
   • Для \(\triangle PQC\): вершины \(P\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\), \(Q\left(\frac{3}{2}, 1\right)\), \(C(2, 1)\). \[ S_{PQC} = \frac{1}{2}\\ \\ | \frac{5}{3} \cdot (1 - 1) + \frac{3}{2} \cdot (1 - \frac{1}{3}) + 2 \cdot (\frac{1}{3} - 1) | = \frac{1}{6}. \]
   \[ \frac{S_{APQ}}{S_{PQC}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = 3. \] Ответ: \(3 : 1\).
   
   
3. Для всех значений параметра \(a\) определите число решений уравнения \[ x\,|x - 4| - a = 0. \] Решение: Рассмотрим функцию \(f(x) = x|x - 4|\). Анализируем поведение функции:
   • При \(x \ge 4\): \(f(x) = x(x - 4)\). Минимум в точке \(x = 2\) недоступен, возрастает с \(f(4) = 0\).
   • При \(x < 4\): \(f(x) = x(4 - x)\). Максимум при \(x = 2\): \(f(2) = 4\).
   График функции симметричен относительно \(x = 2\):
   • При \(a > 4\): одно решение (\(x > 4\)).
   • При \(a = 4\): два решения (\(x = 2\) и \(x = 5\)).
   • При \(0 < a < 4\): три решения (по одному на ветвях \(x \ge 4\) и \(x < 4\)).
   • При \(a = 0\): два решения (\(x = 0\) и \(x = 4\)).
   • При \(a < 0\): нет решений.
   Ответ:
   • \(a < 0\): 0 решений;
   • \(a = 0\): 2 решения;
   • \(0 < a < 4\): 3 решения;
   • \(a = 4\): 2 решения;
   • \(a > 4\): 1 решение.
   
   
   
4. Сумма первого, второго, третьего и четвёртого членов геометрической прогрессии равна \(-312\), причём третий член больше второго. Найдите знаменатель прогрессии, если второй член прогрессии больше шестого на \(6240\). Решение: Пусть \(b_1 = b\), знаменатель \(q\). Тогда: \[ b + bq + bq^2 + bq^3 = -312 \quad (1), \] \[ bq - bq^5 = 6240 \quad (2). \] Разложим уравнение (2): \[ bq(1 - q^4) = 6240. \] Из уравнения (1): \[ b(1 + q + q^2 + q^3) = -312 \Rightarrow b = \frac{-312}{1 + q + q^2 + q^3}. \] Подставляем в (2): \[ \frac{-312q(1 - q^4)}{1 + q + q^2 + q^3} = 6240. \] Упрощаем \(1 - q^4 = (1 - q)(1 + q + q^2 + q^3)\): \[ -312q(1 - q) = 6240 \Rightarrow q^2 - q - 20 = 0 \Rightarrow q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = 5 \text{ или } -4. \] Проверяем \(q = 5\): \[ b(1 + 5 + 25 + 125) = -312 \Rightarrow b = -2. \] Проверка условий: \(b_3 = -2 \cdot 25 = -50\) и \(b_2 = -10\), что выполнит \(b_3 > b_2\). Ответ: \(q = 5\).
   
   
5. В двух коробках находится более \(30\) одинаковых конфет. Число конфет в первой коробке, уменьшенное на \(1\), более чем в \(3\) раза превышает число конфет во второй коробке. Утроенное число конфет в первой коробке превышает удвоенное число конфет во второй коробке, но не менее, чем на \(59\). Сколько конфет в каждой коробке? Решение: Пусть в первой коробке \(x\) конфет, во второй \(y\) конфет (\(x, y > 30\)): \[ \begin{cases} x - 1 > 3y \quad (1), \\ 3x \geq 2y + 59 \quad (2). \end{cases} \] Из неравенства (1): \[ x \geq 3y + 2. \] Подставляем в неравенство (2): \[ 3(3y + 2) \geq 2y + 59 \Rightarrow 9y + 6 \geq 2y + 59 \Rightarrow 7y \geq 53 \Rightarrow y \geq 8. \] Учитывая \(y > 30\), минимальное \(y = 31\): \[ x \geq 3 \cdot 31 + 2 = 95. \] Проверяем условие (2): \[ 3 \cdot 95 = 285 \geq 2 \cdot 31 + 59 = 121 + 59 = 180 \quad \text{(выполнено)}. \] Ответ: В первой коробке 95 конфет, во второй 31 конфета.