СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2021 год

1. На столе стояло 7 ваз, в которых лежало по одинаковому числу яблок. Среди них оказалось 14 червивых яблок, что составило более 30\%, но менее 40% от общего их числа. Сколько всего было яблок?
2. Сумма 10-го, 11-го и 12-го членов арифметической прогрессии равна 2021. Найдите сумму первых 21 членов этой прогрессии.
3. Решите неравенство \[ \sqrt{x^2 - x - 2\cdot (x^2 - 1)} \le 0. \]
4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу равны 9 и 16 соответственно.
5. Найдите значение выражения \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}, \] где $x_1, x_2$ — разные корни уравнения \[ x^2 - 21x - 20 = 0. \]

Решения задач

1. На столе стояло 7 ваз, в которых лежало по одинаковому числу яблок. Среди них оказалось 14 червивых яблок, что составило более 30\%, но менее 40% от общего их числа. Сколько всего было яблок?
   Решение: Пусть в каждой вазе лежало $n$ яблок. Тогда общее количество яблок равно $7n$. По условию:
   $0,3 \cdot 7n < 14 < 0,4 \cdot 7n$
   $2,1n < 14 < 2,8n$
   Разделим неравенства:
   $n \frac{14}{2,8} = 5$
   Так как $n$ — целое число, подходит $n = 6$. Тогда общее количество яблок:
   $7 \cdot 6 = 42$ яблока. Проверка: $\frac{14}{42} \approx 33,3\%$ — соответствует условию.
   Ответ: 42.
2. Сумма 10-го, 11-го и 12-го членов арифметической прогрессии равна 2021. Найдите сумму первых 21 членов этой прогрессии.
   Решение: Запишем члены прогрессии:
   $a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{11} = a_1 + 10d$, $a_{12} = a_1 + 11d$
   Их сумма: $(a_1 + 9d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 11d) = 3a_1 + 30d = 2021$
   Сумма первых 21 членов:
   $S_{21} = \frac{2a_1 + 20d}{2} \cdot 21 = (a_1 + 10d) \cdot 21$
   Из уравнения $3a_1 + 30d = 2021$ получаем $a_1 + 10d = \frac{2021}{3}$
   Тогда $S_{21} = \frac{2021}{3} \cdot 21 = 2021 \cdot 7 = 14147$
   Ответ: 14147.
3. Решите неравенство \[ \sqrt{x^2 - x - 2\cdot (x^2 - 1)} \le 0. \] Решение: Квадратный корень неотрицателен, поэтому неравенство выполняется только при равенстве нулю:
   $x^2 - x - 2(x^2 - 1) = 0$
   $-x^2 - x + 2 = 0$
   $x^2 + x - 2 = 0$
   Дискриминант: $D = 1 + 8 = 9$
   Корни: $x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1$, $x_2 = -2$
   Проверка подстановкой показывает, что оба корня обращают подкоренное выражение в ноль.
   Ответ: $-2$; $1$.
4. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу равны 9 и 16 соответственно.
   Решение: Пусть катеты равны $a$ и $b$, гипотенуза $c$. Проекции катетов:
   $\frac{a^2}{c} = 9$, $\frac{b^2}{c} = 16$
   Сумма проекций равна гипотенузе: $9 + 16 = c \Rightarrow c = 25$
   Тогда:
   $a^2 = 9 \cdot 25 = 225 \Rightarrow a = 15$
   $b^2 = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow b = 20$
   Ответ: 15 и 20.
5. Найдите значение выражения \[ \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}, \] где $x_1, x_2$ — разные корни уравнения \[ x^2 - 21x - 20 = 0. \] Решение: По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = 21$, $x_1x_2 = -20$
   Преобразуем выражение:
   $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$
   Подставим значения:
   $(21)^2 - 2 \cdot (-20) = 441 + 40 = 481$
   $(x_1x_2)^2 = (-20)^2 = 400$
   $\frac{481}{400} = 1,2025$
   Ответ: $\frac{481}{400}$.