СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 2

1. Решить уравнение \[ \frac{x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x^3 - x}{3 - x}. \]
2. Найти количество целочисленных чётных решений неравенства \[ x^2 + 8765432x - 8765433 < 0. \]
3. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 21.
4. Свежие сливы содержат 85% воды, а чернослив (сушёные сливы) – 15% воды. Сколько воды надо добавить к 2,5кг слив и 400г чернослива, чтобы сварить компот, в котором будет 95% воды?
5. Две окружности пересекаются так, что их центры лежат по разные стороны от их общей хорды \(KR\), равной 6. Через точку \(K\) под углом \(60^\circ\) к хорде проведена прямая, пересекающая окружности в точках \(A_1\) и \(A_2\), а через точку \(R\) проведена прямая, ей параллельная, пересекающая окружности в точках \(B_1\) и \(B_2\) (точки с одинаковыми индексами принадлежат одной окружности). Найти площадь четырёхугольника \(A_1B_1A_2B_2\), если \(A_1A_2 = 18\).

Решения задач

1. Решить уравнение \[ \frac{x^4 + 3x^3 + 3x^2 + x}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x^3 - x}{3 - x}. \]
   Решение:
   Упростим левую часть: \[ \frac{x(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 1)^3}{(x + 1)^2} = x(x + 1). \]
   Упростим правую часть: \[ \frac{x(x^2 - 1)}{3 - x} = \frac{x(x - 1)(x + 1)}{-(x - 3)} = -\frac{x(x - 1)(x + 1)}{x - 3}. \]
   Получаем уравнение: \[ x(x + 1) = -\frac{x(x - 1)(x + 1)}{x - 3}. \]
   Умножим обе части на \(x - 3\) (при \(x \neq 3\)): \[ x(x + 1)(x - 3) = -x(x - 1)(x + 1). \]
   Делаем преобразования при \(x \neq -1, 0\): \[ x - 3 = -(x - 1) \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \]
   Проверка показывает, что \(x = 2\) удовлетворяет условию.
   Ответ: \(2\).
   
   
2. Найти количество целочисленных чётных решений неравенства \[ x^2 + 8765432x - 8765433 < 0. \]
   Решение:
   Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 8765432x - 8765433 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 1)(x - 8765433) = 0. \]
   Решение неравенства: \[ x \in (-1; 8765433). \]
   Целочисленные чётные числа из этого интервала: от \(0\) до \(8765432\) с шагом \(2\).
   Количество чисел: \[ \frac{8765432}{2} + 1 = 4382717. \] Ответ: \(4382717\).
   
   
3. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 21.
   
   Решение:
   Все варианты цифр \(a, b, c\) (где \(a \neq 0\)) такие, что \(a \cdot b \cdot c = 21\) – это перестановки цифр \(\{1, 3, 7\}\). Возможные числа: \(137, 173, 317, 371, 713, 731\).
   Сумма для каждого разряда: \[ \text{Сотни: } (1 + 3 + 7) \cdot 2 \cdot 100 = 2200, \] \[ \text{Десятки: } (1 + 3 + 7) \cdot 2 \cdot 10 = 220, \] \[ \text{Единицы: } (1 + 3 + 7) \cdot 2 \cdot 1 = 22. \]
   Общая сумма: \[ 2200 + 220 + 22 = 2442. \] Ответ: \(2442\).
   
   
4. Свежие сливы содержат 85% воды, а чернослив – 15% воды. Сколько воды надо добавить к 2,5кг слив и 400г чернослива, чтобы сварить компот, в котором будет 95% воды?
   
   Решение:
   Сухое вещество в сливах: \[ 2,5 \cdot 0,15 = 0,375\,\text{кг}. \]
   Сухое вещество в черносливе: \[ 0,4 \cdot 0,85 = 0,34\,\text{кг}. \]
   Общее сухое вещество: \[ 0,375 + 0,34 = 0,715\,\text{кг}. \]
   Чтобы сухое вещество составляло 5% от массы компота: \[ 0,715 = 0,05 \cdot m_{\text{компота}} \quad \Rightarrow \quad m_{\text{компота}} = 14,3\,\text{кг}. \]
   Необходимо добавить воды: \[ 14,3 - (2,5 + 0,4) = 11,4\,\text{кг}. \] Ответ: \(11,4\,\text{кг}\).
   
   
5. Найти площадь четырёхугольника \(A_1B_1A_2B_2\), если \(A_1A_2 = 18\), а расстояние между параллельными прямыми через \(K\) и \(R\) равно \(3\sqrt{3}\).
   
   Решение:
   Четырёхугольник \(A_1B_1A_2B_2\) – параллелограмм. Его площадь равна произведению длины основания \(A_1A_2 = 18\) на высоту (расстояние между параллельными прямыми): \[ S = 18 \cdot 3\sqrt{3} = 54\sqrt{3}. \] Ответ: \(54\sqrt{3}\).