СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2015 год вариант 1

1. Решить уравнение \[ \frac{x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x^3 - x}{2 - x}. \]
2. Найти количество целочисленных нечётных решений неравенства \[ x^2 - 7654321x + 7654320 < 0. \]
3. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 15.
4. Свежие абрикосы содержат 90% воды, а курага (сушёные абрикосы) – 12% воды. Сколько воды надо добавить к 2 кг абрикосов и 500 г кураги, чтобы сварить компот, в котором будет 95% воды?
5. Две окружности пересекаются так, что их центры лежат по разные стороны от их общей хорды \(KR\), равной 3. Через точку \(K\) под углом \(60^\circ\) к хорде проведена прямая, пересекающая окружности в точках \(A_1\) и \(A_2\), а через точку \(R\) проведена прямая, идущая параллельно, пересекающая окружности в точках \(B_1\) и \(B_2\) (точки с одинаковыми индексами принадлежат одной окружности). Найти площадь четырёхугольника \(A_1 B_1 A_2 B_2\), если \(A_1 A_2 = 10\).

Решения задач

1. Решить уравнение \[ \frac{x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x^3 - x}{2 - x}. \] Решение: Упростим левую и правую части уравнения: \[ \text{Левая часть: } \frac{x(x-1)^3}{(x-1)^2} = x(x-1) \] \[ \text{Правая часть: } \frac{x(x-1)(x+1)}{-(x-2)} = -\frac{x(x-1)(x+1)}{x-2} \] Получаем уравнение: \[ x(x-1) = -\frac{x(x-1)(x+1)}{x-2} \] Выносим общий множитель: \[ x(x-1)\left(1 + \frac{x+1}{x-2}\right) = 0 \] Рассмотрим случаи:
   • $x(x-1) = 0$ даёт решения $x=0$ (допустим) и $x=1$ (недопустим).
   • Решение уравнения $1 + \frac{x+1}{x-2} = 0$ приводит к $x=\frac{1}{2}$.
   Ответ: $0; \frac{1}{2}$.
2. Найти количество целочисленных нечётных решений неравенства \[ x^2 - 7654321x + 7654320 < 0. \] Решение: Корни уравнения $x^2 - 7654321x + 7654320 = 0$ равны $x_1=1$ и $x_2=7654320$. Решение неравенства: $x \in (1;7654320)$. Количество нечётных чисел в интервале: \[ \left\lfloor \frac{7654319-3}{2} \right\rfloor + 1 = \frac{7654316}{2} + 1 = 3827158 + 1 = 3827159. \] Ответ: $3\,827\,159$.
3. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 15. Решение: Подходящие числа — перестановки цифр 1, 3, 5. Всего 6 чисел: 135, 153, 315, 351, 513, 531. Их сумма: \[ 135 + 153 + 315 + 351 + 513 + 531 = 1998. \] Ответ: 1998.
4. Свежие абрикосы содержат 90% воды, а курага — 12% воды. Найти массу воды для добавления к 2\,кг абрикосов и 500\,г кураги, чтобы получить компот с 95% воды. Решение: Сухое вещество: \[ \text{В абрикосах: } 2 \cdot 0.1 = 0.2\,кг; \quad \text{В кураге: } 0.5 \cdot 0.88 = 0.44\,кг. \] Общее сухое вещество: $0.64\,кг = 5\%$ компота. Общая масса компота: \[ 0.64 \cdot 20 = 12.8\,кг. \] Добавить воды: \[ 12.8 - (2 + 0.5) = 10.3\,кг. \] Ответ: 10,3 кг.
5. Найти площадь четырёхугольника \(A_1 B_1 A_2 B_2\), если \(A_1 A_2 = 10\), хорда \(KR = 3\), углы при \(K\) и \(R\) составляют \(60^\circ\). Решение: Четырёхугольник \(A_1 B_1 A_2 B_2\) — трапеция с основаниями \(A_1 A_2 = 10\) и \(B_1 B_2 = 10\) (параллельность гарантирует равенство длин). Расстояние между основаниями равно высоте общей хорды: \[ h = KR \cdot \sin{60^\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}. \] Площадь трапеции: \[ S = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{2} \cdot h = 10 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}. \] Ответ: \(15\sqrt{3}\).