СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 9

1. Изначально руда содержала 60% примесей, а в процессе очистки из неё удаляют часть примесей. В результате получился металл, содержащий 4% примесей. Сколько руды требуется для того, чтобы произвести 160 т металла?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит сторону \(CD\)?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\displaystyle \frac{3}{x_2}\) и \(\displaystyle \frac{3}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия, а её часть \(b_1, b_3, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия. Возрастает она или убывает?
5. Решите уравнение \[ 5\bigl(x^{2019} - (1 - 7x)^{2019}\bigr) = 3\bigl((1 - 7x)^{2017} - x^{2017}\bigr). \]

1. 384 т.
2. $3:5$
3. $x^2 - 6057x - 9 = 0$
4. возрастает
5. $x = \tfrac{1}{8}$

Решения задач

1. Изначально руда содержала 60% примесей, а в процессе очистки из неё удаляют часть примесей. В результате получился металл, содержащий 4% примесей. Сколько руды требуется для того, чтобы произвести 160 т металла?
   Решение: Пусть масса исходной руды — \(x\) тонн. В ней содержится \(0,4x\) тонн металла (60% примесей \(\Rightarrow\) 40% металла). После очистки получается металл с 4% примесей, значит, 96% массы составляет чистый металл. Для получения 160 т металла:
   \(0,96 \cdot \text{масса после очистки} = 160 \Rightarrow \text{масса после очистки} = \frac{160}{0,96} = 166\frac{2}{3}\) т.
   Поскольку весь металл сохраняется: \(0,4x = 160 \Rightarrow x = \frac{160}{0,4} = 400\) т.
   Ответ: 400 т.
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 2\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит сторону \(CD\)?
   Решение: Введем координаты: \(B(0;0)\), \(C(2;0)\), \(D(5;h)\), \(A(0;h)\). Середина \(BD\): \(O\left(\frac{5}{2}; \frac{h}{2}\right)\). Уравнение прямой \(AO\):
   \(\frac{x - 0}{\frac{5}{2} - 0} = \frac{y - h}{\frac{h}{2} - h} \Rightarrow y = -\frac{h}{5}x + h\).
   Уравнение \(CD\): параметрически \(x = 2 + 3t\), \(y = 0 + ht\), где \(t \in [0;1]\).
   Найдем точку пересечения:
   \(-\frac{h}{5}(2 + 3t) + h = ht \Rightarrow -\frac{2h}{5} - \frac{3ht}{5} + h = ht \Rightarrow \frac{3h}{5} = \frac{8ht}{5} \Rightarrow t = \frac{3}{8}\).
   Отношение \(CK:KD = t:(1 - t) = \frac{3}{8}:\frac{5}{8} = 3:5\).
   Ответ: \(3:5\).
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\displaystyle \frac{3}{x_2}\) и \(\displaystyle \frac{3}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 + 2019x - 1 = 0. \]
   Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -2019, \quad x_1x_2 = -1. \] Сумма новых корней: \[ \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = 3\left(\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}\right) = 3\left(\frac{-2019}{-1}\right) = 6057. \] Произведение новых корней: \[ \frac{3}{x_1} \cdot \frac{3}{x_2} = \frac{9}{x_1x_2} = \frac{9}{-1} = -9. \] Уравнение: \[ t^2 - 6057t - 9 = 0. \] Ответ: \(t^2 - 6057t - 9 = 0\).
4. Последовательность \(b_1, b_2, \dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия, а её часть \(b_1, b_3, b_4\) — положительная арифметическая прогрессия. Возрастает она или убывает?
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\). Тогда: \[ b_3 = b_1q^2, \quad b_4 = b_1q^3. \] Условие арифметической прогрессии: \[ 2b_3 = b_1 + b_4 \Rightarrow 2b_1q^2 = b_1 + b_1q^3 \Rightarrow 2q^2 = 1 + q^3 \Rightarrow q^3 - 2q^2 + 1 = 0. \] Решаем уравнение: \[ q^3 - 2q^2 + 1 = (q - 1)(q^2 - q - 1) = 0 \Rightarrow q = 1 \text{ или } q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. \] Так как прогрессия непостоянная, \(q \neq 1\). Положительные корни: \(q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1\) (прогрессия возрастает) и \(q = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\) (не подходит, так как члены положительны).
   Ответ: Возрастает.
5. Решите уравнение \[ 5\bigl(x^{2019} - (1 - 7x)^{2019}\bigr) = 3\bigl((1 - 7x)^{2017} - x^{2017}\bigr). \] Решение: Заметим, что \(x = \frac{1}{8}\) является корнем: \[ 1 - 7x = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \Rightarrow x = 1 - 7x. \] Подстановка \(x = \frac{1}{8}\): \[ 5\left(\left(\frac{1}{8}\right)^{2019} - \left(\frac{1}{8}\right)^{2019}\right) = 0 = 3\left(\left(\frac{1}{8}\right)^{2017} - \left(\frac{1}{8}\right)^{2017}\right). \] Других корней нет, так как функции \(x^{n}\) и \((1 - 7x)^{n}\) монотонны и пересекаются только в точке \(x = \frac{1}{8}\).
   Ответ: \(\frac{1}{8}\).