СУНЦ МГУ. Химико-биологическое отделение из 9 в 10 класс 2019 год вариант 10

1. Изначально руда содержит 62% примесей, а в процессе очистки из нее удаляют часть примесей. В результате чего получается металл, содержащий 5% примесей. Сколько руды нужно для того, чтобы произвести 190 т металла?
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит сторону \(CD\)?
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \[ \frac{2}{x_2} \quad\text{и}\quad \frac{2}{x_1}, \] где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \[ x^2 - 2019x - 1 = 0. \]
4. Последовательность \(b_1,b_2,\dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия, а её часть \(b_1,b_2,b_4\) — положительная арифметическая прогрессия. Возрастает она или убывает?
5. Решите уравнение \[ 7\bigl(x^{2019} - (1-3x)^{2019}\bigr) = 2\bigl((1-3x)^{2017} - x^{2017}\bigr). \]

1. $475\ \mathrm{т.}$
2. $2:5$
3. $x^2 + 4038x - 4 = 0$
4. убывает
5. $x = \tfrac{1}{4}$

Решения задач

1. Изначально руда содержит 62% примесей, а после очистки получается металл с 5% примесей. Сколько руды нужно для производства 190 т металла?
   Решение: Полезное вещество в металле составляет 95\%, что равно $190 \cdot 0,95 = 180,5$~т. В исходной руде полезное вещество составляет $100\ 62% = 38\%$. Тогда масса руды:
   $\frac{180,5}{0,38} = 475$~т.
   Ответ: 475~т.
2. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 3\) и \(AD = 5\) через середину \(O\) диагонали \(BD\) провели прямую \(AO\). В каком отношении эта прямая делит сторону \(CD\)?
   Решение: Проведем среднюю линию трапеции \(MN\) через середины боковых сторон. Точка \(O\) — середина \(BD\), значит \(AO\) пересечет \(CD\) в точке \(K\). Используя свойства средней линии и подобия треугольников, получим отношение:
   $\frac{CK}{KD} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$. Однако при детальном расчете через теорему Менелая для треугольника \(CBD\):
   $\frac{CK}{KD} = \frac{BC}{AD} \cdot \frac{AO}{OD} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$, но корректный расчет показывает:
   Ответ: \(3:1\).
3. Запишите квадратное уравнение с корнями \(\frac{2}{x_2}\) и \(\frac{2}{x_1}\), где \(x_1, x_2\) — корни уравнения \(x^2 - 2019x - 1 = 0\).
   Решение: По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = 2019$, $x_1x_2 = -1$.
   Сумма новых корней:
   $\frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = 2 \cdot \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 2 \cdot \frac{2019}{-1} = -4038$.
   Произведение новых корней:
   $\frac{2}{x_1} \cdot \frac{2}{x_2} = \frac{4}{x_1x_2} = \frac{4}{-1} = -4$.
   Уравнение: $x^2 + 4038x - 4 = 0$.
   Ответ: \(x^2 + 4038x - 4 = 0\).
4. Последовательность \(b_1,b_2,\dots\) — непостоянная геометрическая прогрессия, а её часть \(b_1,b_2,b_4\) — положительная арифметическая прогрессия. Возрастает она или убывает?
   Решение: Пусть знаменатель прогрессии \(q\). Тогда:
   $b_2 = b_1q$, $b_4 = b_1q^3$.
   Условие арифметической прогрессии:
   $2b_2 = b_1 + b_4 \Rightarrow 2b_1q = b_1 + b_1q^3$.
   Сократим на \(b_1\):
   $2q = 1 + q^3 \Rightarrow q^3 - 2q + 1 = 0$.
   Корни: \(q = 1\) (не подходит, так как прогрессия непостоянная), \(q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Положительный корень \(q = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618 < 1\).
   Ответ: убывает.
5. Решите уравнение \[ 7\bigl(x^{2019} - (1-3x)^{2019}\bigr) = 2\bigl((1-3x)^{2017} - x^{2017}\bigr). \]
   Решение: Заметим, что \(x = \frac{1}{4}\) является корнем:
   \(1 - 3x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\).
   Подстановка:
   \(7\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2019} - \left(\frac{1}{4}\right)^{2019}\right) = 2\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{2017} - \left(\frac{1}{4}\right)^{2017}\right) \Rightarrow 0 = 0\).
   Других корней нет, так как степени нечётные и функция монотонна.
   Ответ: \(x = \frac{1}{4}\).